Решите уравнение $(x^2 - 36)^2 + (x^2 + 4x - 12)^2 = 0$.

1. Реши уравнение $(x^2 - 36)^2 + (x^2 + 4x - 12)^2 = 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Значит, должны выполняться два условия: 1) $x^2 - 36 = 0$ $x^2 = 36$ $x = \pm 6$ 2) $x^2 + 4x - 12 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$ Мы ищем такие значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям. Общий корень у двух уравнений -6. **Ответ: $-6$** 2. Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Пусть скорость лодки в неподвижной воде будет $v_л$ км/ч. Скорость течения реки $v_т = 2$ км/ч. Скорость лодки против течения: $v_{пр} = v_л - v_т = v_л - 2$ км/ч. Скорость лодки по течению: $v_{по} = v_л + v_т = v_л + 2$ км/ч. Расстояние в одну сторону $S = 297$ км. Время, затраченное против течения: $t_{пр} = \frac{S}{v_{пр}} = \frac{297}{v_л - 2}$ ч. Время, затраченное по течению: $t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{297}{v_л + 2}$ ч. По условию, обратный путь (по течению) занял на 3 часа меньше, чем путь против течения. Значит: $t_{пр} - t_{по} = 3$ $\frac{297}{v_л - 2} - \frac{297}{v_л + 2} = 3$ Умножим обе части уравнения на $(v_л - 2)(v_л + 2)$, чтобы избавиться от дробей. При этом $v_л \neq 2$ и $v_л \neq -2$ (скорость не может быть отрицательной): $297(v_л + 2) - 297(v_л - 2) = 3(v_л - 2)(v_л + 2)$ $297v_л + 594 - 297v_л + 594 = 3(v_л^2 - 4)$ $1188 = 3(v_л^2 - 4)$ Разделим обе части на 3: $396 = v_л^2 - 4$ $v_л^2 = 396 + 4$ $v_л^2 = 400$ $v_л = \sqrt{400}$ $v_л = 20$ Мы берем только положительное значение, так как скорость не может быть отрицательной. **Ответ: 20 км/ч** 3. Постройте график функции $$y=\begin{cases} x^2 - 4x + 4 & \text{при } x \geq -1, \\ -\frac{9}{x} & \text{при } x < -1.\end{cases}$$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки. Сначала построим график функции. Для $x \geq -1$: $y = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви направлены вверх. При $x = -1$, $y = (-1-2)^2 = (-3)^2 = 9$. Точка $(-1, 9)$. При $x = 0$, $y = (0-2)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$. При $x = 2$, $y = (2-2)^2 = 0$. Точка $(2, 0)$. Для $x < -1$: $y = -\frac{9}{x}$. Это гипербола, расположенная во II и IV четвертях. Поскольку $x < -1$, нас интересует ветвь, где $x$ отрицателен. При $x = -1$, $y = -\frac{9}{-1} = 9$. Точка $(-1, 9)$. (Эта точка совпадает с точкой из первой части, что хорошо) При $x = -3$, $y = -\frac{9}{-3} = 3$. Точка $(-3, 3)$. При $x = -9$, $y = -\frac{9}{-9} = 1$. Точка $(-9, 1)$. По мере того как $x \to 0$ слева, $y \to +\infty$. По мере того как $x \to -\infty$, $y \to 0$ сверху. :::div .chart-container @chart-1::: Теперь определим значения $m$, при которых прямая $y=m$ имеет одну или две общие точки с графиком. 1. **Одна общая точка:** * Если $m < 0$, прямая $y=m$ не пересекает график, так как для $x < -1$ значения $y > 0$, а для $x \geq -1$ значения $y \geq 0$. * Если $m = 0$, прямая $y=0$ касается параболы в точке $(2,0)$. Это одна общая точка. * Если $m > 9$, прямая $y=m$ пересекает только параболу в двух точках. * Если $m$ стремится к $0$ сверху для гиперболы (т.е. $m \to 0^+$), но не пересекает её, то у нас нет одной точки. * Если прямая $y=m$ пересекает только одну из ветвей. Это происходит при $m = 0$. * Также, одна точка будет, если $m \in (0,1)$ для гиперболы, но на параболе $y=(x-2)^2$ значения $y \ge 0$. Гипербола при $x < -1$ имеет значения $y \in (0,9)$. Парабола при $x \ge -1$ имеет значения $y \ge 0$. * Для параболы $y=(x-2)^2$, наименьшее значение $y=0$ при $x=2$. Для гиперболы $y=-\frac{9}{x}$ при $x<-1$, значения $y$ находятся в интервале $(0,9)$. * Значит, одна точка будет при $m=0$. * При $m \in (0, 1]$, есть две точки для параболы (если $m > 0$) и одна для гиперболы. Это 3 точки. * При $m = 9$, у нас две точки, так как парабола имеет точку $(-1,9)$ и гипербола имеет точку $(-1,9)$. Эта точка совпадает, но $y=9$ имеет еще одну точку с параболой при $x=5$. То есть 3 точки. Это 3 точки. Нет, $(-1,9)$ это одна точка. $y=9$ пересекает параболу в двух точках: $x=-1$ и $x=5$. Так что при $m=9$ ровно 2 точки. * Значит, одна точка только при $m=0$. 2. **Две общие точки:** * Прямая $y=m$ будет иметь две общие точки, если она пересекает график в двух разных местах. * Рассмотрим интервал $y \in (0,9)$ (для гиперболы $x<-1$) и $y \in [0, +\infty)$ (для параболы $x \ge -1$). * Если $0 < m < 9$: прямая $y=m$ пересекает гиперболу в одной точке ($y=-9/x \implies x=-9/m$) и параболу в двух точках ($y=(x-2)^2 \implies x-2=\pm\sqrt{m} \implies x=2\pm\sqrt{m}$). Но нужно убедиться, что эти $x$ попадают в нужные диапазоны. $x=-9/m$ будет меньше $-1$ при $m \in (0,9)$. $x=2+\sqrt{m}$ будет больше $-1$ при $m \in (0,9)$. $x=2-\sqrt{m}$ может быть как больше, так и меньше $-1$. * Если $m=9$: $y=9$. Она пересекает параболу в двух точках ($x=-1$ и $x=5$). Также точка $(-1,9)$ относится к гиперболе. Таким образом, при $m=9$ две точки. * Если $m > 9$: прямая $y=m$ пересекает параболу в двух точках ($x=2 \pm \sqrt{m}$). Гипербола не достигает таких значений. Значит, при $m > 9$ будет две точки. Собираем все вместе: * $m=0$: одна точка (вершина параболы). * $m=9$: две точки (точка стыка $(-1,9)$ и еще одна точка на параболе). * $m>9$: две точки (пересечение с параболой). Рассмотрим внимательнее: * При $m=0$: одна точка, $(2,0)$. * При $m \in (0, 9)$: $y=m$ пересекает гиперболу в одной точке (так как $x=-9/m < -1$ всегда) и параболу в двух точках (так как $0 < m < 9$ и $x=2 \pm \sqrt{m}$ оба $\ge -1$). Это три точки. * При $m=9$: $y=9$ пересекает параболу в двух точках ($x=-1$ и $x=5$). Точка $(-1,9)$ является общей для обоих частей функции. Значит, это две точки. * При $m>9$: $y=m$ пересекает параболу в двух точках ($x=2 \pm \sqrt{m}$). Гипербола не достигает этих значений $y$. Это две точки. Итак: * Одна общая точка при $m=0$. * Две общие точки при $m=9$ и $m>9$. **Ответ:** * **Одна общая точка при $m=0$.** * **Две общие точки при $m \geq 9$.** 4. Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 21$ и $CH = 8$. Найдите высоту ромба. Пусть сторона ромба $a$. В ромбе все стороны равны, значит $AD = CD = AB = BC = a$. Из условия задачи известно, что $CD = DH + CH = 21 + 8 = 29$. Значит, сторона ромба $a = 29$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$ (поскольку $AH$ — высота, $AH \perp CD$). В этом треугольнике $AD$ — гипотенуза, $DH$ и $AH$ — катеты. По теореме Пифагора: $AD^2 = AH^2 + DH^2$ Нам известно $AD = 29$ и $DH = 21$. Найдем $AH$: $29^2 = AH^2 + 21^2$ $841 = AH^2 + 441$ $AH^2 = 841 - 441$ $AH^2 = 400$ $AH = \sqrt{400}$ $AH = 20$ Высота ромба $AH$ равна 20. **Ответ: 20** 5. Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD$. Точка $K$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $DK$ — биссектриса угла $ADC$. Дано: параллелограмм $ABCD$, $BC = 2 \cdot CD$. Точка $K$ — середина $BC$. Доказать: $DK$ — биссектриса угла $ADC$, то есть $\angle ADK = \angle KDC$. 1. Так как $K$ — середина $BC$, то $BK = KC = \frac{1}{2} BC$. 2. По условию $BC = 2 \cdot CD$. Значит, $KC = \frac{1}{2} (2 \cdot CD) = CD$. 3. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны: $AD = BC$ и $AB = CD$. Также, $AD = BC = 2 \cdot CD$. И $KC = CD$. 4. Рассмотрим треугольник $CDK$. Мы знаем, что $KC = CD$. Значит, треугольник $CDK$ — равнобедренный с основанием $DK$. Из этого следует, что углы при основании равны: $\angle CDK = \angle CKD$. 5. Так как $ABCD$ — параллелограмм, стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$). $DK$ является секущей для параллельных прямых $AD$ и $BC$. Значит, накрест лежащие углы равны: $\angle ADK = \angle CKD$. 6. Из пунктов 4 и 5 получаем: $\angle CDK = \angle CKD$ (из равнобедренного $\triangle CDK$) $\angle ADK = \angle CKD$ (как накрест лежащие углы) Следовательно, $\angle ADK = \angle CDK$. Поскольку $DK$ делит угол $ADC$ на два равных угла ($\angle ADK$ и $\angle KDC$), то $DK$ является биссектрисой угла $ADC$. Что и требовалось доказать.