Решите уравнения: а) $\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{3x-2} = 4$; б) $\sqrt{(x+2)(3x-2)} = 4$

а) $\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{3x-2} = 4$ Нам нужно решить это уравнение. Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Выражения под корнями должны быть неотрицательными: 1. $x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$ 2. $3x-2 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge 2 \Rightarrow x \ge \frac{2}{3}$ Значит, ОДЗ: $x \ge \frac{2}{3}$. Теперь можем умножить корни и возвести обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{(x+2)(3x-2)})^2 = 4^2$$ $$(x+2)(3x-2) = 16$$ Раскроем скобки: $$3x^2 - 2x + 6x - 4 = 16$$ $$3x^2 + 4x - 4 = 16$$ Перенесем 16 в левую часть: $$3x^2 + 4x - 4 - 16 = 0$$ $$3x^2 + 4x - 20 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$ $$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20)$$ $$D = 16 + 240$$ $$D = 256$$ Теперь найдем корни: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3}$$ $$x_1 = \frac{-4 + 16}{6}$$ $$x_1 = \frac{12}{6}$$ $$x_1 = 2$$ $$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3}$$ $$x_2 = \frac{-4 - 16}{6}$$ $$x_2 = \frac{-20}{6}$$ $$x_2 = -\frac{10}{3}$$ Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{2}{3}$): Для $x_1 = 2$: $2 \ge \frac{2}{3}$ – подходит. Для $x_2 = -\frac{10}{3}$: $- \frac{10}{3} \approx -3.33$, что меньше $\frac{2}{3}$ – не подходит. **Ответ:** $2$ б) $\sqrt{(x+2)(3x-2)} = 4$ Это уравнение уже приведено к виду, который мы получили в предыдущем пункте. Поэтому все шаги решения и ОДЗ будут такими же. ОДЗ: $x \ge \frac{2}{3}$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{(x+2)(3x-2)})^2 = 4^2$$ $$(x+2)(3x-2) = 16$$ Раскроем скобки: $$3x^2 - 2x + 6x - 4 = 16$$ $$3x^2 + 4x - 4 = 16$$ $$3x^2 + 4x - 20 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256$$ $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 16}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 16}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$$ Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{2}{3}$): Для $x_1 = 2$: $2 \ge \frac{2}{3}$ – подходит. Для $x_2 = -\frac{10}{3}$: $- \frac{10}{3} \approx -3.33$, что меньше $\frac{2}{3}$ – не подходит. **Ответ:** $2$