Сколько конфет было в подарке Саши?

10. В новогодних подарках ребят из 5 класса было 110 шоколадных конфет, не менее четырёх в каждом подарке. Получив подарок, Саша тут же унёс его домой. Остальные ребята решили третью часть своих конфет подарить Тимуру на день рождения, отчего у Тимура их стало в 9 раз больше. Сколько конфет было в подарке Саши? **Решение:** 1. Найдём количество конфет, которое осталось у ребят после того, как Саша унёс свой подарок. Если у каждого было по 4 конфеты (минимальное количество), а всего было 110 конфет, то количество подарков может быть максимум $110 / 4 = 27,5$. Значит, подарков могло быть от 1 до 27. 2. Пусть $x$ — количество конфет у Тимура до того, как ему подарили конфеты. Тогда после подарка у него стало $9x$ конфет. Эти $9x$ конфет равны его изначальному количеству плюс третья часть конфет остальных ребят. **Допущение:** В задаче сказано, что Саша унес свой подарок, а остальные ребята решили третью часть *своих* конфет подарить Тимуру. Это означает, что все остальные ребята подарили *общую* третью часть оставшихся конфет. Пусть $C$ - общее количество конфет у всех ребят, включая Сашу, $C = 110$. Пусть $S$ - количество конфет в подарке Саши. Тогда у остальных ребят осталось $C - S$ конфет. Третья часть этих конфет, которую подарили Тимуру, равна $\frac{C - S}{3}$. Из условия известно, что у Тимура конфет стало в 9 раз больше. Пусть у Тимура было $T_0$ конфет. Тогда после подарка у него стало $9T_0$ конфет. Значит, $T_0 + \frac{C - S}{3} = 9T_0$. Отсюда $8T_0 = \frac{C - S}{3}$. Подставим $C = 110$: $8T_0 = \frac{110 - S}{3}$. $24T_0 = 110 - S$. Мы знаем, что в каждом подарке не менее четырех конфет, то есть $S \ge 4$. Также $S$ должно быть целым числом. Поскольку $S$ это количество конфет в одном подарке, $110 - S$ должно быть кратно 3 и 8, то есть кратно 24. Давай переберем возможные значения для $S$, начиная с 4: Если $S = 4$, $110 - 4 = 106$. $106$ не делится на $24$. Если $S = 10$, $110 - 10 = 100$. $100$ не делится на $24$. Если $S = 14$, $110 - 14 = 96$. $96$ делится на $24$: $96 / 24 = 4$. В этом случае $T_0 = 4$. Значит, если Саша получил 14 конфет, то у Тимура изначально было 4 конфеты, а остальные ребята подарили ему $96/3 = 32$ конфеты. Тогда у Тимура стало $4 + 32 = 36$ конфет, что в 9 раз больше, чем $4$ ($4 \times 9 = 36$). Теперь нужно проверить условие, что в каждом подарке не менее четырех конфет. Мы нашли, что у Саши 14 конфет, что удовлетворяет условию. У Тимура было 4 конфеты, что тоже удовлетворяет условию. **Ответ:** 14