Найдите скорости мотоциклиста и велосипедиста, если велосипедист отъехал от лагеря на 25 5/6 км, из лагеря выехал мотоциклист и догнал его через 2/3 ч. Скорость велосипедиста составляла 3/8 скорости мотоциклиста.

Пусть скорость мотоциклиста будет $x$ км/ч, а скорость велосипедиста — $y$ км/ч. Из условия задачи известно, что скорость велосипедиста составляла $\frac{3}{8}$ скорости мотоциклиста. Запишем это как уравнение: $$y = \frac{3}{8}x \quad (1)$$ Когда мотоциклист выехал из лагеря, велосипедист уже отъехал на расстояние $25\frac{5}{6}$ км. Переведем это в неправильную дробь: $$25\frac{5}{6} = \frac{25 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{150 + 5}{6} = \frac{155}{6} \text{ км}$$ Мотоциклист догнал велосипедиста через $\frac{2}{3}$ часа. За это время мотоциклист проехал расстояние $S_м = x \cdot \frac{2}{3}$ км, а велосипедист проехал расстояние $S_в = y \cdot \frac{2}{3}$ км. Поскольку мотоциклист догнал велосипедиста, то расстояние, которое проехал мотоциклист, равно расстоянию, которое проехал велосипедист за эти $\frac{2}{3}$ часа, плюс то расстояние, на которое велосипедист уже отъехал изначально: $$x \cdot \frac{2}{3} = y \cdot \frac{2}{3} + \frac{155}{6} \quad (2)$$ Теперь у нас есть система из двух уравнений: $$\begin{cases} y = \frac{3}{8}x \\ \frac{2}{3}x = \frac{2}{3}y + \frac{155}{6} \end{cases}$$ Подставим первое уравнение во второе: $$\frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{3}{8}x\right) + \frac{155}{6}$$ Упростим правую часть: $$\frac{2}{3}x = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8}x + \frac{155}{6}$$ $$\frac{2}{3}x = \frac{6}{24}x + \frac{155}{6}$$ $$\frac{2}{3}x = \frac{1}{4}x + \frac{155}{6}$$ Перенесем все члены с $x$ в левую часть: $$\frac{2}{3}x - \frac{1}{4}x = \frac{155}{6}$$ Приведем дроби к общему знаменателю (12): $$\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}x - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3}x = \frac{155}{6}$$ $$\frac{8}{12}x - \frac{3}{12}x = \frac{155}{6}$$ $$\frac{5}{12}x = \frac{155}{6}$$ Теперь найдем $x$: $$x = \frac{155}{6} \cdot \frac{12}{5}$$ $$x = \frac{155 \cdot 12}{6 \cdot 5}$$ $$x = \frac{155 \cdot 2}{5}$$ $$x = \frac{310}{5}$$ $$x = 62$$ Скорость мотоциклиста $x = 62$ км/ч. Теперь найдем скорость велосипедиста $y$, используя первое уравнение: $$y = \frac{3}{8}x = \frac{3}{8} \cdot 62$$ $$y = \frac{3 \cdot 62}{8}$$ $$y = \frac{186}{8}$$ $$y = \frac{93}{4}$$ $$y = 23.25$$ Скорость велосипедиста $y = 23.25$ км/ч. **Ответ:** Скорость мотоциклиста 62 км/ч, скорость велосипедиста 23,25 км/ч.