Решите систему уравнений: $x^2 + y^2 = 20$, $y^3 + x^3 + x^2y + xy^2 = -120$

Давай решим эту систему уравнений! Имеем систему: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ y^3 + x^3 + x^2y + xy^2 = -120 \end{cases}$$ Начнём со второго уравнения. Заметим, что его можно сгруппировать и разложить на множители: $$y^3 + x^3 + x^2y + xy^2 = (x^3 + y^3) + (x^2y + xy^2)$$ Вынесем общие множители: $$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$$ $$x^2y + xy^2 = xy(x+y)$$ Теперь подставим это обратно во второе уравнение: $$(x+y)(x^2 - xy + y^2) + xy(x+y) = -120$$ Вынесем общий множитель $(x+y)$: $$(x+y)(x^2 - xy + y^2 + xy) = -120$$ Упростим выражение в скобках: $$(x+y)(x^2 + y^2) = -120$$ Теперь мы можем использовать первое уравнение системы, которое гласит $x^2 + y^2 = 20$. Подставим это значение в упрощенное второе уравнение: $$(x+y)(20) = -120$$ Разделим обе части на 20: $$x+y = -6$$ Теперь у нас есть новая система: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ x+y = -6 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = -6 - x$. Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение: $$x^2 + (-6 - x)^2 = 20$$ Возведем в квадрат: $$x^2 + (36 + 12x + x^2) = 20$$ Раскроем скобки и приведем подобные члены: $$x^2 + 36 + 12x + x^2 = 20$$ $$2x^2 + 12x + 36 - 20 = 0$$ $$2x^2 + 12x + 16 = 0$$ Разделим всё уравнение на 2: $$x^2 + 6x + 8 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или теорему Виета. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -6$ и $x_1 \cdot x_2 = 8$. Подходящие числа: -4 и -2. Значит, $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$. Найдем соответствующие значения $y$: Если $x_1 = -4$, то $y_1 = -6 - (-4) = -6 + 4 = -2$. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -6 - (-2) = -6 + 2 = -4$. **Ответ:** $(-4; -2)$ и $(-2; -4)$.