Докажите, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Давай докажем это свойство равнобедренного треугольника. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC$. Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$. 1. **Высота является медианой:** Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Также $BH$ — это высота, значит, $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$. Рассмотрим треугольники $ABH$ и $CBH$: * $AB = BC$ (по условию, так как треугольник равнобедренный) * $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$ (так как $BH$ — высота) * $BH$ — общая сторона Эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников следует, что $AH = HC$. Это значит, что точка $H$ делит основание $AC$ пополам, то есть $BH$ — медиана. 2. **Высота является биссектрисой:** Из равенства треугольников $ABH$ и $CBH$ (которые мы доказали выше) также следует, что $\angle ABH = \angle CBH$. Это означает, что $BH$ делит угол $ABC$ пополам, то есть $BH$ — биссектриса. Вот так мы и доказали, что в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.