Выберите уравнение, корнем которого является число 2.

1. Чтобы определить, какое уравнение имеет корень $2$, нужно подставить $x=2$ в каждое уравнение и проверить, верно ли равенство. a) $\frac{x+2}{x-2} = 0$ Подставляем $x=2$: $\frac{2+2}{2-2} = \frac{4}{0}$. На ноль делить нельзя, поэтому $x=2$ не является корнем. б) $\frac{x-2}{x+2} = 0$ Подставляем $x=2$: $\frac{2-2}{2+2} = \frac{0}{4} = 0$. Это верное равенство, значит $x=2$ является корнем. в) $\frac{2x}{x-4} = 0$ Подставляем $x=2$: $\frac{2 \cdot 2}{2-4} = \frac{4}{-2} = -2 \neq 0$. Неверно, $x=2$ не является корнем. г) $\frac{x^2-4}{x-2} = 0$ Подставляем $x=2$: $\frac{2^2-4}{2-2} = \frac{4-4}{0} = \frac{0}{0}$. Деление на ноль, поэтому $x=2$ не является корнем. **Ответ: б)** 2. Решите уравнение $\frac{x^2-6x+5}{x-1} = 0$ Для того чтобы дробь была равна нулю, её числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю. $x^2-6x+5 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5$ $x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6-4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Теперь проверим, при каких значениях $x$ знаменатель не равен нулю: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$ Из найденных корней $x_1 = 5$ и $x_2 = 1$, корень $x_2 = 1$ не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль. **Ответ: $x=5$** 3. Решите уравнение $\frac{2x}{x^2-25} + \frac{4-x}{x-5} = 0$ Сначала разложим знаменатель первой дроби: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$. Перепишем уравнение: $\frac{2x}{(x-5)(x+5)} + \frac{4-x}{x-5} = 0$ Найдем общий знаменатель, это будет $(x-5)(x+5)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{2x}{(x-5)(x+5)} + \frac{(4-x)(x+5)}{(x-5)(x+5)} = 0$ Теперь, когда знаменатели одинаковые, можем сложить числители, при условии, что знаменатель не равен нулю. То есть $x \neq 5$ и $x \neq -5$. $2x + (4-x)(x+5) = 0$ $2x + 4x + 20 - x^2 - 5x = 0$ $-x^2 + x + 20 = 0$ Умножим все на $-1$, чтобы старший коэффициент был положительным: $x^2 - x - 20 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$ $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1}$ $x_1 = \frac{1+9}{2} = \frac{10}{2} = 5$ $x_2 = \frac{1-9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ Проверим найденные корни на допустимые значения $x \neq 5$ и $x \neq -5$. Корень $x_1 = 5$ не подходит, так как обращает знаменатель в ноль. Корень $x_2 = -4$ подходит. **Ответ: $x=-4$** 4. Найдите все значения переменной, при которых разность дробей $\frac{x-3}{x-2}$ и $\frac{3}{x^2-x-2}$ равна дроби $\frac{3}{x+1}$. Запишем уравнение: $\frac{x-3}{x-2} - \frac{3}{x^2-x-2} = \frac{3}{x+1}$ Разложим знаменатель второй дроби на множители. Для $x^2-x-2=0$ найдем корни: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$ $x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$ $x_1 = \frac{1+3}{2} = 2$ $x_2 = \frac{1-3}{2} = -1$ Значит, $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$. Перепишем уравнение с разложенным знаменателем: $\frac{x-3}{x-2} - \frac{3}{(x-2)(x+1)} = \frac{3}{x+1}$ Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+1)$: $\frac{(x-3)(x+1)}{(x-2)(x+1)} - \frac{3}{(x-2)(x+1)} = \frac{3(x-2)}{(x-2)(x+1)}$ Теперь, когда знаменатели одинаковые, можем приравнять числители: $(x-3)(x+1) - 3 = 3(x-2)$ $x^2 + x - 3x - 3 - 3 = 3x - 6$ $x^2 - 2x - 6 = 3x - 6$ $x^2 - 2x - 3x - 6 + 6 = 0$ $x^2 - 5x = 0$ $x(x-5) = 0$ Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ $x_2 = 5$ Оба корня $0$ и $5$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -1$). **Ответ: $x=0, x=5$** 5. Решите уравнение $\frac{2x-7}{x^2-9x+14} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x^2-3x+2}$ Разложим знаменатели на множители. Для $x^2-9x+14=0$: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$ $x = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}$ $x_1 = \frac{9+5}{2} = 7$ $x_2 = \frac{9-5}{2} = 2$ Значит, $x^2-9x+14 = (x-7)(x-2)$. Для $x^2-3x+2=0$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$ $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$ $x_1 = \frac{3+1}{2} = 2$ $x_2 = \frac{3-1}{2} = 1$ Значит, $x^2-3x+2 = (x-2)(x-1)$. Перепишем уравнение: $\frac{2x-7}{(x-7)(x-2)} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{(x-2)(x-1)}$ Определим ОДЗ: $x \neq 7$, $x \neq 2$, $x \neq 1$. Перенесем все дроби в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x-7)(x-2)(x-1)$: $\frac{(2x-7)(x-1)}{(x-7)(x-2)(x-1)} - \frac{(x-7)(x-2)}{(x-7)(x-2)(x-1)} - \frac{(x-7)}{(x-7)(x-2)(x-1)} = 0$ Приравняем числитель к нулю: $(2x-7)(x-1) - (x-7)(x-2) - (x-7) = 0$ Раскроем скобки: $(2x^2 - 2x - 7x + 7) - (x^2 - 2x - 7x + 14) - (x-7) = 0$ $(2x^2 - 9x + 7) - (x^2 - 9x + 14) - x + 7 = 0$ $2x^2 - 9x + 7 - x^2 + 9x - 14 - x + 7 = 0$ Приведем подобные члены: $(2x^2 - x^2) + (-9x + 9x - x) + (7 - 14 + 7) = 0$ $x^2 - x + 0 = 0$ $x^2 - x = 0$ $x(x-1) = 0$ Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ $x_2 = 1$ Проверим корни по ОДЗ: $x \neq 7$, $x \neq 2$, $x \neq 1$. Корень $x_2 = 1$ не подходит, так как он обращает знаменатели в ноль. Корень $x_1 = 0$ подходит. **Ответ: $x=0$**