1. Задание 959: Начертите окружность, заданную уравнением:
a) $x^2+y^2=9$:
Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.
:::div .chart-container @chart-1:::
б) $(x-1)^2+(y+2)^2=4$:
Это уравнение окружности с центром в точке $(1,-2)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.
:::div .chart-container @chart-2:::
в) $(x+5)^2+(y-3)^2=25$:
Это уравнение окружности с центром в точке $(-5,3)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.
:::div .chart-container @chart-3:::
г) $(x-1)^2+(y+2)^2=2$:
Это уравнение окружности с центром в точке $(1,-2)$ и радиусом $R = \sqrt{2} \approx 1.41$.
:::div .chart-container @chart-4:::
2. Задание 960: Какие из точек $A(3;-4)$, $B(1;0)$, $C(0;5)$, $D(0;0)$ и $E(0;1)$ лежат на окружности, заданной уравнением:
а) $x^2+y^2=25$:
Для каждой точки подставим её координаты в уравнение окружности:
* Точка $A(3;-4)$: $3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$. $25 = 25$. **Точка A лежит на окружности.**
* Точка $B(1;0)$: $1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$. $1 \neq 25$. **Точка B не лежит на окружности.**
* Точка $C(0;5)$: $0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25$. $25 = 25$. **Точка C лежит на окружности.**
* Точка $D(0;0)$: $0^2 + 0^2 = 0$. $0 \neq 25$. **Точка D не лежит на окружности.**
* Точка $E(0;1)$: $0^2 + 1^2 = 1$. $1 \neq 25$. **Точка E не лежит на окружности.**
б) $(x-1)^2+(y+3)^2=9$:
Для каждой точки подставим её координаты в уравнение окружности:
* Точка $A(3;-4)$: $(3-1)^2 + (-4+3)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$. $5 \neq 9$. **Точка A не лежит на окружности.**
* Точка $B(1;0)$: $(1-1)^2 + (0+3)^2 = 0^2 + 3^2 = 0 + 9 = 9$. $9 = 9$. **Точка B лежит на окружности.**
* Точка $C(0;5)$: $(0-1)^2 + (5+3)^2 = (-1)^2 + 8^2 = 1 + 64 = 65$. $65 \neq 9$. **Точка C не лежит на окружности.**
* Точка $D(0;0)$: $(0-1)^2 + (0+3)^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$. $10 \neq 9$. **Точка D не лежит на окружности.**
* Точка $E(0;1)$: $(0-1)^2 + (1+3)^2 = (-1)^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$. $17 \neq 9$. **Точка E не лежит на окружности.**
3. Задание 961: Окружность задана уравнением $(x+5)^2+(y-1)^2=25$. Пользуясь чертежом, укажите, какие точки $A(-2;5)$, $B(-5;-3)$, $C(-7;-2)$ и $D(1;5)$ лежат:
Центр окружности находится в точке $(-5;1)$, радиус $R = \sqrt{25} = 5$.
Чтобы определить, где находится точка, нужно сравнить расстояние от центра до точки с радиусом:
* Если расстояние равно $R$, точка лежит на окружности.
* Если расстояние меньше $R$, точка лежит внутри круга.
* Если расстояние больше $R$, точка лежит вне круга.
Расстояние между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле: $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
* Точка $A(-2;5)$: Расстояние от центра $(-5;1)$ до $A(-2;5)$:
$\sqrt{(-2 - (-5))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Расстояние равно радиусу. **Точка A лежит на окружности.**
* Точка $B(-5;-3)$: Расстояние от центра $(-5;1)$ до $B(-5;-3)$:
$\sqrt{(-5 - (-5))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(0)^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$.
Расстояние $4 < 5$ (радиуса). **Точка B лежит внутри круга.**
* Точка $C(-7;-2)$: Расстояние от центра $(-5;1)$ до $C(-7;-2)$:
$\sqrt{(-7 - (-5))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.61$.
Расстояние $3.61 < 5$ (радиуса). **Точка C лежит внутри круга.**
* Точка $D(1;5)$: Расстояние от центра $(-5;1)$ до $D(1;5)$:
$\sqrt{(1 - (-5))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(6)^2 + (4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7.21$.
Расстояние $7.21 > 5$ (радиуса). **Точка D лежит вне круга.**
Результаты:
а) внутри круга, ограниченного данной окружностью: **Точки B, C**
б) на окружности: **Точка А**
в) вне круга, ограниченного данной окружностью: **Точка D**
