Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если расстояние между пристанями А и В равно 99 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 4 часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 28 км. Скорость течения реки равна 2 км/ч.

1. Сначала найдём время, за которое плот проплыл 28 км. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 2 км/ч. $$t_{плота} = \frac{S_{плота}}{v_{реки}} = \frac{28 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 14 \text{ ч}$$ 2. Моторная лодка отправилась на 4 часа позже плота, но они пришли к этому моменту одновременно. Значит, лодка была в пути: $$t_{лодки} = t_{плота} - 4 \text{ ч} = 14 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 10 \text{ ч}$$ 3. Обозначим собственную скорость лодки как $v_л$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению будет $v_л + 2$ км/ч, а против течения $v_л - 2$ км/ч. Лодка проплыла 99 км по течению и 99 км против течения. Общее время в пути для лодки: $$\frac{99}{v_л + 2} + \frac{99}{v_л - 2} = 10$$ 4. Решаем уравнение: $$99(v_л - 2) + 99(v_л + 2) = 10(v_л + 2)(v_л - 2)$$ $$99v_л - 198 + 99v_л + 198 = 10(v_л^2 - 4)$$ $$198v_л = 10v_л^2 - 40$$ $$10v_л^2 - 198v_л - 40 = 0$$ Разделим всё на 2: $$5v_л^2 - 99v_л - 20 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = (-99)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-20) = 9801 + 400 = 10201$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{10201} = 101$$ Найдём $v_л$: $$v_л = \frac{99 \pm 101}{2 \cdot 5} = \frac{99 \pm 101}{10}$$ Два возможных решения: $$v_{л1} = \frac{99 + 101}{10} = \frac{200}{10} = 20$$ $$v_{л2} = \frac{99 - 101}{10} = \frac{-2}{10} = -0,2$$ Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v_л = 20$ км/ч. **Ответ:** 20