Найти самый короткий путь из А в С и вычислить его длину.

1. Населенные пункты на схеме обозначены буквами: а) Какой путь из А в С самый короткий? Вычисли его длину. Чтобы найти самый короткий путь из А в С, нужно сравнить длины всех возможных маршрутов: * Путь A–B–C: $28 \,300 \text{ м} + 9 \,250 \text{ м} = 37 \,550 \text{ м}$ * Путь A–E–C: $19 \,400 \text{ м} + 13 \,500 \text{ м} = 32 \,900 \text{ м}$ * Путь A–F–D–C: $8 \,350 \text{ м} + 27 \,800 \text{ м} + 11 \,100 \text{ м} = 47 \,250 \text{ м}$ * Путь A–F–E–C: $8 \,350 \text{ м} + 27 \,800 \text{ м} + 6 \,000 \text{ м} + 13 \,500 \text{ м} = 55 \,650 \text{ м}$ * Путь A–B–D–C: $28 \,300 \text{ м} + 6 \,000 \text{ м} + 11 \,100 \text{ м} = 45 \,400 \text{ м}$ Сравнивая все пути, самый короткий путь: A–E–C, его длина $32 \,900 \text{ м}$. **Ответ: A–E–C, длина $32 \,900 \text{ м}$.** б) Грише нужно попасть из F в В, заехав по пути в город Е. Вычисли длину самого короткого маршрута. Путь из F в B через E: F–E–B: $6 \,000 \text{ м} + 13 \,500 \text{ м} = 19 \,500 \text{ м}$. **Ответ: $19 \,500 \text{ м}$.** 2. Паук-крестовик распространен на Юге России. Гриша измерил его ловчую сеть. Он выяснил: * У каждого шестиугольника все стороны равны. * Сторона каждого следующего шестиугольника на 5 мм больше предыдущего. Всего таких шестиугольников три. * Центральные нити равны между собой. Всего таких нитей три. Вычисли длину нити, которую выпустил крестовик для плетения сети. **Допущение:** На изображении указаны длины сторон первого и второго шестиугольника: $2.5 \text{ см}$ и $3 \text{ см}$. Также указана длина центральной нити до первого шестиугольника: $2.5 \text{ см}$. В условии сказано, что сторона каждого следующего шестиугольника на 5 мм больше предыдущего. Это соответствует данным на рисунке: $3 \text{ см} = 2.5 \text{ см} + 0.5 \text{ см}$. 1. Определим длины сторон шестиугольников: * Первый шестиугольник: $a_1 = 2.5 \text{ см} = 25 \text{ мм}$. * Второй шестиугольник: $a_2 = 3 \text{ см} = 30 \text{ мм}$. * Третий шестиугольник: $a_3 = 30 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 35 \text{ мм}$. 2. Теперь найдем периметр каждого шестиугольника: * Периметр первого шестиугольника: $P_1 = 6 \times a_1 = 6 \times 25 \text{ мм} = 150 \text{ мм}$. * Периметр второго шестиугольника: $P_2 = 6 \times a_2 = 6 \times 30 \text{ мм} = 180 \text{ мм}$. * Периметр третьего шестиугольника: $P_3 = 6 \times a_3 = 6 \times 35 \text{ мм} = 210 \text{ мм}$. 3. Сумма длин всех сторон шестиугольников: $P_{общая} = P_1 + P_2 + P_3 = 150 \text{ мм} + 180 \text{ мм} + 210 \text{ мм} = 540 \text{ мм}$. 4. Длина центральной нити от центра до первого шестиугольника равна $2.5 \text{ см} = 25 \text{ мм}$. Так как центральных нитей три и они равны между собой, общая длина центральных нитей, идущих от центра до первого шестиугольника: $3 \times 25 \text{ мм} = 75 \text{ мм}$. 5. Общая длина всей нити, которую выпустил крестовик для плетения сети, равна сумме периметров всех шестиугольников и всех центральных нитей: $Длина_{сети} = P_{общая} + Длина_{центральных} = 540 \text{ мм} + 75 \text{ мм} = 615 \text{ мм}$. **Ответ: $615 \text{ мм}$ или $61.5 \text{ см}$.**