Отрезки AC и BD - диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 23°. Найдите угол AOD.

**16.** Угол $AOD$ — это центральный угол, который опирается на ту же дугу, что и вписанный угол $ACB$. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Значит, центральный угол в два раза больше вписанного угла. $AOD = 2 \times ACB$ $AOD = 2 \times 23^\circ = 46^\circ$ **Ответ:** $46^\circ$ **17.** Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 112. Точка $E$ — середина стороны $AB$. Площадь треугольника $CBE$. Площадь треугольника $CBE$ равна половине произведения стороны $EB$ на высоту, опущенную на эту сторону. Высота из $C$ на $AB$ (или её продолжение) будет такой же, как высота параллелограмма из $D$ на $AB$. Так как $E$ — середина $AB$, то $EB = \frac{1}{2}AB$. Площадь параллелограмма $ABCD$ можно найти как $S_{ABCD} = AB \times h$, где $h$ — высота параллелограмма. Площадь треугольника $CBE$ равна $S_{CBE} = \frac{1}{2} \times EB \times h = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}AB \times h = \frac{1}{4} AB \times h$. Значит, $S_{CBE} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$. $S_{CBE} = \frac{1}{4} \times 112 = 28$. **Ответ:** 28 **18.** Для нахождения длины биссектрисы, проведённой из вершины $B$, нам понадобится использовать формулу длины биссектрисы или воспользоваться координатами точек. Обозначим координаты вершин треугольника $ABC$: $A = (1, 6)$ $B = (1, 1)$ $C = (6, 6)$ Найдем длины сторон треугольника: $AB = \sqrt{(1-1)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5$ $BC = \sqrt{(6-1)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ $AC = \sqrt{(6-1)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$ Треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB = AC = 5$. Теперь найдем длину биссектрисы $BD$ из вершины $B$ к стороне $AC$. По формуле длины биссектрисы $l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$, где $p$ — полупериметр, а $a, b, c$ — длины сторон. Или $l_b = \sqrt{ac - xy}$, где $x, y$ — отрезки, на которые биссектриса делит сторону $b$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, также является медианой и высотой. Однако здесь биссектриса проводится не к основанию $BC$, а к одной из равных сторон $AC$. Найдем координаты точки $D$ на $AC$. Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Пусть $AD = x$ и $DC = y$. Тогда $x+y=AC=5$ и $\frac{x}{y} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $y = \sqrt{2}x$ $x + \sqrt{2}x = 5$ $x(1+\sqrt{2}) = 5$ $x = \frac{5}{1+\sqrt{2}} = \frac{5( \sqrt{2}-1 )}{( \sqrt{2}+1 )( \sqrt{2}-1 )} = 5(\sqrt{2}-1)$ Теперь используем формулу длины биссектрисы $l_b^2 = AB \times BC - AD \times DC$. $l_b^2 = 5 \times 5\sqrt{2} - (5(\sqrt{2}-1)) (5\sqrt{2}(\sqrt{2}-1))$ Ой, это неверная формула. Проще использовать формулу длины биссектрисы $l_b = \frac{2ac \cos(\frac{B}{2})}{a+c}$. Или $l_b^2 = ac - xy$. В нашем случае биссектриса проведена из вершины $B$ к стороне $AC$. Пусть $L_B$ — длина биссектрисы $BD$. $L_B^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC$ Где $AD$ и $DC$ — отрезки, на которые биссектриса $BD$ делит сторону $AC$. Мы нашли $AD = 5(\sqrt{2}-1)$. Тогда $DC = AC - AD = 5 - 5(\sqrt{2}-1) = 5 - 5\sqrt{2} + 5 = 10 - 5\sqrt{2} = 5(2-\sqrt{2})$. $L_B^2 = 5 \cdot 5\sqrt{2} - 5(\sqrt{2}-1) \cdot 5(2-\sqrt{2})$ $L_B^2 = 25\sqrt{2} - 25(\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2})$ $L_B^2 = 25\sqrt{2} - 25(2\sqrt{2} - 2 - 2 + \sqrt{2})$ $L_B^2 = 25\sqrt{2} - 25(3\sqrt{2} - 4)$ $L_B^2 = 25\sqrt{2} - 75\sqrt{2} + 100$ $L_B^2 = 100 - 50\sqrt{2}$ $L_B = \sqrt{100 - 50\sqrt{2}} = \sqrt{50(2-\sqrt{2})} = 5\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}$ Это не выглядит как простой ответ. Возможно, есть более простой способ, если биссектриса проводится из другой вершины. Посмотрим на треугольник $ABC$ на координатной плоскости. $A=(1,6)$, $B=(1,1)$, $C=(6,6)$. Угол $B$ в треугольнике $ABC$ можно найти. $AB$ вертикально, $AC$ горизонтально, $BC$ под углом. $AB$ лежит на прямой $x=1$. $AC$ лежит на прямой $y=6$. Или же, можно заметить, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, так как $AB$ перпендикулярно $AC$ (или же $AB$ и $AC$ не перпендикулярны, это же $y=6$ и $x=1$). Вектор $BA = (1-1, 6-1) = (0, 5)$. Вектор $BC = (6-1, 6-1) = (5, 5)$. Вектор $CA = (1-6, 6-6) = (-5, 0)$. $AB = 5$. $BC = \sqrt{5^2+5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. $AC = 5$. Угол $B$ можно найти через скалярное произведение векторов $BA$ и $BC$: $BA \cdot BC = |BA| |BC| \cos B$ $(0, 5) \cdot (5, 5) = 0\cdot5 + 5\cdot5 = 25$ $|BA| = 5$ $|BC| = 5\sqrt{2}$ $25 = 5 \cdot 5\sqrt{2} \cos B$ $25 = 25\sqrt{2} \cos B$ $\cos B = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Значит, угол $B = 45^\circ$. Биссектриса из вершины $B$ делит угол $B$ на два угла по $22.5^\circ$. Теперь можно применить формулу длины биссектрисы $l_b = \frac{2ac \cos(\frac{B}{2})}{a+c}$, где $a$ и $c$ — стороны, прилежащие к углу $B$, то есть $AB$ и $BC$. $a = BC = 5\sqrt{2}$ $c = AB = 5$ $l_b = \frac{2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos(22.5^\circ)}{5\sqrt{2} + 5} = \frac{50\sqrt{2} \cos(22.5^\circ)}{5(1+\sqrt{2})} = \frac{10\sqrt{2} \cos(22.5^\circ)}{1+\sqrt{2}}$ Это опять же сложно для школьного уровня. Посмотрим внимательнее на рисунок. Точка $A(1,6)$, $B(1,1)$, $C(6,6)$. Биссектриса из вершины $B$ делит угол $B$ на два равных угла. Угол $B$ равен $45^\circ$, как мы нашли. Нам нужно найти длину биссектрисы $BD$, где $D$ лежит на $AC$. Построим треугольник на координатной сетке. $A(1,6)$, $B(1,1)$, $C(6,6)$. Сторона $AB$ лежит на линии $x=1$. Сторона $AC$ лежит на линии $y=6$. Сторона $BC$ идет от $(1,1)$ до $(6,6)$. Так как $\angle B = 45^\circ$, то биссектриса из вершины $B$ будет проходить под углом $22.5^\circ$ к $AB$ и $BC$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами, равными 5 (по клеточкам), угол при вершине $B$ не $90^\circ$. На рисунке видно, что $AB$ - 5 единиц по вертикали, $AC$ - 5 единиц по горизонтали. Высота из $C$ на $x=1$ (продолжение $AB$) равна 5. Ширина от $x=1$ до $x=6$ равна 5. Проще использовать формулу длины биссектрисы через стороны треугольника. $l_b = \frac{\sqrt{ac(a+c)^2 - abc^2}}{a+c} = \frac{2\sqrt{ac}}{a+c} \cos(\frac{B}{2})$. Еще раз, $\angle B = 45^\circ$. $\cos(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1+\cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$. $l_b = \frac{10\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} = \frac{5\sqrt{2}( \sqrt{2+\sqrt{2}} )}{1+\sqrt{2}}$ $l_b = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{2+\sqrt{2}})(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\sqrt{2+\sqrt{2}}}{1} = 5(2-\sqrt{2})\sqrt{2+\sqrt{2}}$ Это все еще сложно. Возможно, есть более простой способ с учетом того, что это задача по клеткам. Биссектриса $BD$ из вершины $B(1,1)$ делит $AC$ ($y=6$, от $x=1$ до $x=6$) в отношении $AB:BC = 5:5\sqrt{2} = 1:\sqrt{2}$. $D$ находится на $AC$. Пусть $D = (x_D, 6)$. $A=(1,6)$, $C=(6,6)$. $x_D = \frac{1 \cdot \sqrt{2} + 6 \cdot 1}{1+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+6}{1+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}+6)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2-\sqrt{2}+6\sqrt{2}-6}{1} = 5\sqrt{2}-4$. Значит $D = (5\sqrt{2}-4, 6)$. Теперь найдем расстояние $BD$: $BD = \sqrt{((5\sqrt{2}-4)-1)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{(5\sqrt{2}-5)^2 + 5^2}$ $BD = \sqrt{ (5(\sqrt{2}-1))^2 + 25 } = \sqrt{ 25(\sqrt{2}-1)^2 + 25 }$ $BD = \sqrt{ 25( (\sqrt{2}-1)^2 + 1 ) } = 5 \sqrt{ (\sqrt{2}-1)^2 + 1 }$ $BD = 5 \sqrt{ (2 - 2\sqrt{2} + 1) + 1 } = 5 \sqrt{ 3 - 2\sqrt{2} + 1 } = 5 \sqrt{ 4 - 2\sqrt{2} }$ Это намного проще, чем предыдущие вычисления. **Ответ:** $5\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}$