Решите уравнение $\frac{x}{8} - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$

1. $\frac{x}{8} - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$ Чтобы решить это уравнение, сначала найдем общий знаменатель для всех дробей. Общий знаменатель для 8 и 2 — это 8. Умножим обе части уравнения на 8: $8 \cdot (\frac{x}{8} - \frac{x}{2}) = 8 \cdot \frac{1}{2}$ $x - 4x = 4$ $-3x = 4$ $x = -\frac{4}{3}$ **Ответ:** $x = -\frac{4}{3}$ 2. $\frac{y}{3} - \frac{y}{9} = \frac{10}{9} - \frac{1}{6}$ Найдем общий знаменатель для дробей в левой части (3 и 9) — это 9. Для дробей в правой части (9 и 6) — это 18. Перепишем уравнение: $\frac{3y}{9} - \frac{y}{9} = \frac{20}{18} - \frac{3}{18}$ Выполним вычитание: $\frac{2y}{9} = \frac{17}{18}$ Чтобы найти $y$, умножим обе части на $\frac{9}{2}$: $y = \frac{17}{18} \cdot \frac{9}{2}$ $y = \frac{17 \cdot 9}{18 \cdot 2}$ $y = \frac{17 \cdot 1}{2 \cdot 2}$ $y = \frac{17}{4}$ **Ответ:** $y = \frac{17}{4}$ 3. $\frac{a}{3} + \frac{a}{5} = 1$ Найдем общий знаменатель для дробей в левой части (3 и 5) — это 15. Умножим обе части уравнения на 15: $15 \cdot (\frac{a}{3} + \frac{a}{5}) = 15 \cdot 1$ $5a + 3a = 15$ $8a = 15$ $a = \frac{15}{8}$ **Ответ:** $a = \frac{15}{8}$ 4. $y:4 - 1 = \frac{2}{3}$ Перепишем $y:4$ как $\frac{y}{4}$: $\frac{y}{4} - 1 = \frac{2}{3}$ Прибавим 1 к обеим частям уравнения: $\frac{y}{4} = \frac{2}{3} + 1$ $\frac{y}{4} = \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$ $\frac{y}{4} = \frac{5}{3}$ Умножим обе части на 4: $y = \frac{5}{3} \cdot 4$ $y = \frac{20}{3}$ **Ответ:** $y = \frac{20}{3}$ 5. $y:1 - 1 = \frac{2}{3}$ Перепишем $y:1$ как $y$: $y - 1 = \frac{2}{3}$ Прибавим 1 к обеим частям уравнения: $y = \frac{2}{3} + 1$ $y = \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$ $y = \frac{5}{3}$ **Ответ:** $y = \frac{5}{3}$ 6. $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = \frac{7}{14} + 2$ Сначала упростим правую часть уравнения. $\frac{7}{14}$ можно сократить до $\frac{1}{2}$: $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = \frac{1}{2} + 2$ $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{4}{2}$ $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = \frac{5}{2}$ Найдем общий знаменатель для дробей в левой части (3 и 2) — это 6. Умножим обе части уравнения на 6: $6 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{x}{2}) = 6 \cdot \frac{5}{2}$ $2x + 3x = 15$ $5x = 15$ $x = \frac{15}{5}$ $x = 3$ **Ответ:** $x = 3$ 7. $\frac{m}{3} + \frac{m}{8} = -\frac{1}{4}$ Найдем общий знаменатель для дробей в левой части (3 и 8) — это 24. Умножим обе части уравнения на 24: $24 \cdot (\frac{m}{3} + \frac{m}{8}) = 24 \cdot (-\frac{1}{4})$ $8m + 3m = -6$ $11m = -6$ $m = -\frac{6}{11}$ **Ответ:** $m = -\frac{6}{11}$ 8. $\frac{y}{2} - \frac{y}{6} = 4 - \frac{2}{3}$ Найдем общий знаменатель для дробей в левой части (2 и 6) — это 6. Для дробей в правой части (1 и 3) — это 3. Перепишем уравнение: $\frac{3y}{6} - \frac{y}{6} = \frac{12}{3} - \frac{2}{3}$ Выполним вычитание: $\frac{2y}{6} = \frac{10}{3}$ Упростим левую часть: $\frac{y}{3} = \frac{10}{3}$ Умножим обе части на 3: $y = 10$ **Ответ:** $y = 10$ 9. $\frac{z}{5} + \frac{z}{2} = 2 - \frac{7}{15}$ Найдем общий знаменатель для дробей в левой части (5 и 2) — это 10. Для дробей в правой части (1 и 15) — это 15. Перепишем уравнение: $\frac{2z}{10} + \frac{5z}{10} = \frac{30}{15} - \frac{7}{15}$ Выполним сложение и вычитание: $\frac{7z}{10} = \frac{23}{15}$ Чтобы найти $z$, умножим обе части на $\frac{10}{7}$: $z = \frac{23}{15} \cdot \frac{10}{7}$ $z = \frac{23 \cdot 10}{15 \cdot 7}$ $z = \frac{23 \cdot 2}{3 \cdot 7}$ $z = \frac{46}{21}$ **Ответ:** $z = \frac{46}{21}$ 10. $x - (\frac{x}{3} + \frac{x}{4}) = -2\frac{1}{3}$ Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$ Найдем общий знаменатель для дробей в скобках (3 и 4) — это 12. Для дробей справа (1 и 3) — это 3. В скобках: $\frac{4x}{12} + \frac{3x}{12} = \frac{7x}{12}$ Теперь уравнение выглядит так: $x - \frac{7x}{12} = -\frac{7}{3}$ Запишем $x$ как $\frac{12x}{12}$: $\frac{12x}{12} - \frac{7x}{12} = -\frac{7}{3}$ $\frac{5x}{12} = -\frac{7}{3}$ Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{12}{5}$: $x = -\frac{7}{3} \cdot \frac{12}{5}$ $x = -\frac{7 \cdot 12}{3 \cdot 5}$ $x = -\frac{7 \cdot 4}{1 \cdot 5}$ $x = -\frac{28}{5}$ **Ответ:** $x = -\frac{28}{5}$ 11. $(\frac{x}{5} + \frac{x}{8}) - x = -3$ Найдем общий знаменатель для дробей в скобках (5 и 8) — это 40. В скобках: $\frac{8x}{40} + \frac{5x}{40} = \frac{13x}{40}$ Теперь уравнение выглядит так: $\frac{13x}{40} - x = -3$ Запишем $x$ как $\frac{40x}{40}$: $\frac{13x}{40} - \frac{40x}{40} = -3$ $-\frac{27x}{40} = -3$ Умножим обе части на $-1$: $\frac{27x}{40} = 3$ Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{40}{27}$: $x = 3 \cdot \frac{40}{27}$ $x = \frac{3 \cdot 40}{27}$ $x = \frac{1 \cdot 40}{9}$ $x = \frac{40}{9}$ **Ответ:** $x = \frac{40}{9}$ 12. $\frac{x}{5} + \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = -\frac{3}{5}$ Найдем общий знаменатель для дробей в левой части (5, 2, 3) — это 30. Перепишем левую часть с общим знаменателем: $\frac{6x}{30} + \frac{15x}{30} - \frac{10x}{30} = -\frac{3}{5}$ Выполним сложение и вычитание: $\frac{6x + 15x - 10x}{30} = -\frac{3}{5}$ $\frac{11x}{30} = -\frac{3}{5}$ Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{30}{11}$: $x = -\frac{3}{5} \cdot \frac{30}{11}$ $x = -\frac{3 \cdot 30}{5 \cdot 11}$ $x = -\frac{3 \cdot 6}{1 \cdot 11}$ $x = -\frac{18}{11}$ **Ответ:** $x = -\frac{18}{11}$