Дано: $ABC$ — правильный треугольник, $O$ — его центр, $OM \perp ABC$, $OM = 1$, $AB = 3$. Найти: расстояния от т. $M$ до вершин $\triangle ABC$.

Question

Вопрос:

Дано: $ABC$ — правильный треугольник, $O$ — его центр, $OM \perp ABC$, $OM = 1$, $AB = 3$. Найти: расстояния от т. $M$ до вершин $\triangle ABC$.

$Дано: $ABC$ — правильный треугольник, $O$ — его центр, $OM \perp ABC$, $OM = 1$, $AB = 3$. Найти: расстояния от т. $M$ до вершин $\triangle ABC$.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Дано: $ABC$ — правильный треугольник. $O$ — центр треугольника $ABC$. $OM \perp ABC$, $OM = 1$. $AB = 3$. Найти: расстояние от точки $M$ до вершин $\triangle ABC$. Расстояние от точки $M$ до любой вершины $\triangle ABC$ будет одинаковым, так как $O$ — центр правильного треугольника, и $OM$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это значит, что треугольники $\triangle MOA$, $\triangle MOB$ и $\triangle MOC$ будут равными прямоугольными треугольниками. Найдем расстояние $OA$. Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ (это и есть $OA$) находится по формуле: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ где $a$ — сторона треугольника. Подставляем $a = AB = 3$: $$R = OA = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$ Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOA$. У него катеты $OM$ и $OA$, а гипотенуза $MA$ — это и есть искомое расстояние. По теореме Пифагора: $$MA^2 = OM^2 + OA^2$$ $$MA^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2$$ $$MA^2 = 1 + 3$$ $$MA^2 = 4$$ $$MA = \sqrt{4}$$ $$MA = 2$$ Таким образом, расстояние от точки $M$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равно 2. **Ответ:** 2

Дано: $ABC$ — правильный треугольник, $O$ — его центр, $OM \perp ABC$, $OM = 1$, $AB = 3$. Найти: расстояния от т. $M$ до вершин $\triangle ABC$.

Ответ ассистента

Другие решения