Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

**10.** **Доказательство:** Предположим, что в треугольнике $ABC$ медиана $AM$ является также и высотой. Медиана $AM$ делит сторону $BC$ пополам, то есть $BM = MC$. Так как $AM$ является высотой, то она перпендикулярна стороне $BC$, то есть $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$. Рассмотрим треугольники $AMB$ и $AMC$: 1. Сторона $AM$ — общая. 2. Сторона $BM = MC$ (по определению медианы). 3. $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$ (по определению высоты). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) треугольник $AMB$ равен треугольнику $AMC$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = AC$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным (по определению равнобедренного треугольника, у которого две стороны равны). **11.** **Доказательство:** Дано: $CD = BD$, $\angle 1 = \angle 2$. Рассмотрим треугольник $DBC$. Поскольку $CD = BD$, то треугольник $DBC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle DCB = \angle DBC$. Мы знаем, что $\angle 1 = \angle 2$. Угол $ACB$ состоит из $\angle 1$ и $\angle DCB$: $\angle ACB = \angle 1 + \angle DCB$. Угол $ABC$ состоит из $\angle 2$ и $\angle DBC$: $\angle ABC = \angle 2 + \angle DBC$. Так как $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle DCB = \angle DBC$, то мы можем сложить эти равенства: $\angle 1 + \angle DCB = \angle 2 + \angle DBC$ $\,\angle ACB = \angle ABC$ Поскольку углы при основании $BC$ в треугольнике $ABC$ равны ($\angle ACB = \angle ABC$), то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Следовательно, стороны $AB$ и $AC$ равны. **Ответ: Треугольник $ABC$ равнобедренный.**