Найдите значение выражения 1. 4^5 / 64

1. Чтобы найти значение выражения $\frac{4^5}{64}$, сначала представим $64$ как степень числа $4$. Мы знаем, что $64 = 4 \times 4 \times 4 = 4^3$. Тогда выражение примет вид: $$\frac{4^5}{4^3}$$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$4^{5-3} = 4^2$$ Теперь вычислим $4^2$: $$4^2 = 4 \times 4 = 16$$ **Ответ: 16** 2. Чтобы найти значение выражения $\frac{12^7}{2^5 \cdot 6^6}$, сначала разложим $12$ на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$. Тогда $12^7 = (2^2 \cdot 3)^7 = (2^2)^7 \cdot 3^7 = 2^{14} \cdot 3^7$. Теперь подставим это в выражение: $$\frac{2^{14} \cdot 3^7}{2^5 \cdot 6^6}$$ Разложим $6$ на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$. Тогда $6^6 = (2 \cdot 3)^6 = 2^6 \cdot 3^6$. Подставим это в выражение: $$\frac{2^{14} \cdot 3^7}{2^5 \cdot (2^6 \cdot 3^6)}$$ Объединим степени с одинаковым основанием в знаменателе: $$\frac{2^{14} \cdot 3^7}{2^{5+6} \cdot 3^6} = \frac{2^{14} \cdot 3^7}{2^{11} \cdot 3^6}$$ Теперь сократим дроби, вычитая показатели степеней: $$2^{14-11} \cdot 3^{7-6} = 2^3 \cdot 3^1$$ Вычислим значения: $$2^3 = 8$$ $$3^1 = 3$$ Умножим полученные результаты: $$8 \cdot 3 = 24$$ **Ответ: 24** 3. Чтобы найти значение выражения $\frac{8^{11} \cdot 9^{13}}{72^{11}}$, сначала заметим, что $72 = 8 \cdot 9$. Тогда $72^{11} = (8 \cdot 9)^{11} = 8^{11} \cdot 9^{11}$. Подставим это в исходное выражение: $$\frac{8^{11} \cdot 9^{13}}{8^{11} \cdot 9^{11}}$$ Сократим $8^{11}$ в числителе и знаменателе: $$\frac{9^{13}}{9^{11}}$$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$9^{13-11} = 9^2$$ Вычислим значение: $$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$$ **Ответ: 81** 4. Чтобы найти значение выражения $\frac{(5 \cdot 8)^9}{5^6 \cdot 8^9}$, сначала раскроем скобки в числителе: $(5 \cdot 8)^9 = 5^9 \cdot 8^9$. Тогда выражение примет вид: $$\frac{5^9 \cdot 8^9}{5^6 \cdot 8^9}$$ Сократим $8^9$ в числителе и знаменателе: $$\frac{5^9}{5^6}$$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$5^{9-6} = 5^3$$ Вычислим значение: $$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$$ **Ответ: 125** 5. Чтобы найти значение выражения $7^{-13} \cdot (7^5)^3$, сначала упростим $(7^5)^3$. При возведении степени в степень показатели умножаются: $$(7^5)^3 = 7^{5 \cdot 3} = 7^{15}$$ Теперь выражение примет вид: $$7^{-13} \cdot 7^{15}$$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$7^{-13+15} = 7^2$$ Вычислим значение: $$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$$ **Ответ: 49** 6. Чтобы найти значение выражения $\frac{(10^4)^{-6}}{10^{-27}}$, сначала упростим числитель $(10^4)^{-6}$. При возведении степени в степень показатели умножаются: $$(10^4)^{-6} = 10^{4 \cdot (-6)} = 10^{-24}$$ Теперь выражение примет вид: $$\frac{10^{-24}}{10^{-27}}$$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$10^{-24 - (-27)} = 10^{-24+27} = 10^3$$ Вычислим значение: $$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$$ **Ответ: 1000** 7. Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{3^{-18}} \cdot \frac{1}{3^{15}}$, сначала заметим, что $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. Тогда $\frac{1}{3^{-18}} = 3^{-(-18)} = 3^{18}$. И $\frac{1}{3^{15}} = 3^{-15}$. Теперь перепишем выражение: $$3^{18} \cdot 3^{-15}$$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$3^{18 + (-15)} = 3^{18-15} = 3^3$$ Вычислим значение: $$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$$ **Ответ: 27** 8. Чтобы найти значение выражения $\frac{6^{-8} \cdot 6^{21}}{6^{10}}$, сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$6^{-8} \cdot 6^{21} = 6^{-8+21} = 6^{13}$$ Теперь выражение примет вид: $$\frac{6^{13}}{6^{10}}$$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$6^{13-10} = 6^3$$ Вычислим значение: $$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$$ **Ответ: 216**