К окружности с центром в точке O проведены касательные AC и AB. OB и OC — радиусы, OB = 3, AB = 4 (см. рис. 260). Найдите AO.

1. Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол $\angle OBA = 90^\circ$.Треугольник $\triangle OBA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. По теореме Пифагора: $AO^2 = OB^2 + AB^2$ $AO^2 = 3^2 + 4^2$ $AO^2 = 9 + 16$ $AO^2 = 25$ $AO = \sqrt{25}$ $AO = 5$ **Ответ: 5** 2. Угол $\angle BOC$ является центральным углом и опирается на дугу $BC$. Угол $\angle BAC$ является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу $BC$. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. По условию, $\angle AOC = 130^\circ$. Однако на рисунке 261 угол $130^\circ$ указан как центральный угол, который не является $\angle BOC$ или $\angle AOB$. **Допущение: Угол, отмеченный как $130^\circ$, является центральным углом, опирающимся на дугу $AC$. Следовательно, $\angle AOC = 130^\circ$.** Вписанный угол $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры центрального угла, опирающегося на ту же дугу. $\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC$ $\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ$ $\angle ABC = 65^\circ$ **Ответ: 65**