Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

1. Обозначим трапецию как $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — боковые стороны, $AB$ и $DC$ — основания. Пусть $DC = 4$ — меньшее основание. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне $AD$ через вершину $D$, отсекает треугольник. На рисунке это прямая $DE$, параллельная $AD$. Но по условию прямая проведена параллельно боковой стороне через конец меньшего основания, то есть через $D$ или $C$. Если прямая $DE$ параллельна $AD$, то это неверно, потому что $AD$ - это боковая сторона. Значит, прямая $DE$ параллельна $BC$. В таком случае $DCBE$ — параллелограмм, а $ADE$ — треугольник. Из условия $DC = 4$. Так как $DCBE$ — параллелограмм, то $EB = DC = 4$. Также $DE = CB$. Периметр треугольника $ADE$ равен 15. Значит, $AD + DE + AE = 15$. Периметр трапеции $ABCD$ равен $AB + BC + CD + AD$. $AB = AE + EB = AE + 4$. $BC = DE$. Таким образом, периметр трапеции $ABCD = (AE + 4) + DE + 4 + AD = (AD + DE + AE) + 4 + 4 = 15 + 8 = 23$. **Ответ: 23** 2. Пусть боковые стороны трапеции $c_1 = 24$ и $c_2 = 26$. Средняя линия $m = 28$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = \frac{a+b}{2}$, где $a$ и $b$ — основания трапеции. Значит, $28 = \frac{a+b}{2}$, откуда $a+b = 28 \times 2 = 56$. Периметр трапеции равен сумме всех ее сторон: $P = a + b + c_1 + c_2$. $P = 56 + 24 + 26 = 56 + 50 = 106$. **Ответ: 106**