Найдите значение выражения $$\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}}$$

1. Найдите значение выражения: а) $$\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}} = \frac{2^5 \cdot 2^{12}}{2^{13}} = \frac{2^{5+12}}{2^{13}} = \frac{2^{17}}{2^{13}} = 2^{17-13} = 2^4 = 16$$ б) $$\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}} = \frac{5^{16} \cdot 5^7}{5^{22}} = \frac{5^{16+7}}{5^{22}} = \frac{5^{23}}{5^{22}} = 5^{23-22} = 5^1 = 5$$ в) $$\frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4} = \frac{2^{10}}{2^6 \cdot 2^2} = \frac{2^{10}}{2^{6+2}} = \frac{2^{10}}{2^8} = 2^{10-8} = 2^2 = 4$$ г) $$\frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3} = \frac{3^7 \cdot 3^3}{3^{12}} = \frac{3^{7+3}}{3^{12}} = \frac{3^{10}}{3^{12}} = 3^{10-12} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$ д) $$\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9} = \frac{5^8 \cdot 5^2}{5^9} = \frac{5^{8+2}}{5^9} = \frac{5^{10}}{5^9} = 5^{10-9} = 5^1 = 5$$ е) $$\frac{(7^3)^2 \cdot 7^2}{(7^5)^2} = \frac{7^6 \cdot 7^2}{7^{10}} = \frac{7^{6+2}}{7^{10}} = \frac{7^8}{7^{10}} = 7^{8-10} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$$ ж) $$\frac{(3^4)^3}{3^{11} \cdot 27} = \frac{3^{12}}{3^{11} \cdot 3^3} = \frac{3^{12}}{3^{11+3}} = \frac{3^{12}}{3^{14}} = 3^{12-14} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$ 2. Известно, что $a < 0$ и $b > 0$. Сравните с нулём значения: а) $ab^2$: Так как $a < 0$ и $b^2 > 0$ (любое число в квадрате, кроме нуля, всегда положительное), то их произведение будет отрицательным. $ab^2 < 0$. б) $a^3b$: Так как $a < 0$, то $a^3 < 0$. И $b > 0$. Произведение отрицательного и положительного чисел будет отрицательным. $a^3b < 0$. в) $a^2b$: Так как $a < 0$, то $a^2 > 0$. И $b > 0$. Произведение двух положительных чисел будет положительным. $a^2b > 0$. г) $ab^3$: Так как $a < 0$ и $b > 0$, то $b^3 > 0$. Произведение отрицательного и положительного чисел будет отрицательным. $ab^3 < 0$. д) $-ab^3$: Так как $a < 0$ и $b^3 > 0$, то $ab^3 < 0$. Тогда $-ab^3$ будет положительным. $-ab^3 > 0$. е) $a^2+b^2$: Так как $a < 0$, то $a^2 > 0$. И $b > 0$, то $b^2 > 0$. Сумма двух положительных чисел будет положительной. $a^2+b^2 > 0$. ж) $(a+b)^2$: Здесь нельзя однозначно сказать, будет ли $a+b$ положительным или отрицательным без конкретных значений $a$ и $b$. Например, если $a = -2$ и $b = 1$, то $a+b = -1$, а $(a+b)^2 = (-1)^2 = 1 > 0$. Если $a = -1$ и $b = 2$, то $a+b = 1$, а $(a+b)^2 = 1^2 = 1 > 0$. В любом случае квадрат любого ненулевого числа всегда положителен. Так как $a \ne 0$ и $b \ne 0$, то $a+b$ не обязательно равно 0. Если $a+b = 0$, то $(a+b)^2 = 0$. Если $a+b \ne 0$, то $(a+b)^2 > 0$. Если $a=-2, b=2$, то $a+b = 0$, и $(a+b)^2 = 0$. Поэтому $(a+b)^2 \ge 0$. з) $(a-b)^2$: Так как $a < 0$ и $b > 0$, то $a-b$ будет отрицательным (например, $-2 - 1 = -3$). Квадрат отрицательного числа всегда положителен. $(a-b)^2 > 0$.