Докажите, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

Докажем, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Пусть есть окружность с центром $O$ и хорда $AB$. Проведём диаметр $CD$, который перпендикулярен хорде $AB$ в точке $M$. Нам нужно доказать, что $AM = MB$. Рассмотрим треугольники $OMA$ и $OMB$. У них: * $OA = OB$ (радиусы одной окружности) * $OM$ — общая сторона * $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$ (по условию перпендикулярности) Таким образом, треугольники $OMA$ и $OMB$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AM = MB$ Значит, диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. **Что и требовалось доказать.**