Найти $AD$, если $M$ — середина стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин, $BC = 6$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $124^\circ$ и $116^\circ$.

Если точка $M$ на стороне $AD$ равноудалена от всех вершин выпуклого четырёхугольника $ABCD$, то она является центром описанной окружности. Это значит, что $MA = MB = MC = MD = R$ (радиус окружности). Из условия $MA = MD$, и так как $M$ — середина стороны $AD$, то это означает, что $A, M, D$ лежат на одной прямой и $M$ — середина отрезка $AD$. Значит, $MA = MD = \frac{AD}{2}$. Так как $MA = MB = MC = MD$, то все вершины четырёхугольника $ABCD$ лежат на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $R = MA = MB = MC = MD$. Рассмотрим треугольник $MBC$. Он равнобедренный, так как $MB = MC = R$. Значит, углы при основании равны: $\angle MBC = \angle MCB$. Угол $B$ четырёхугольника равен $124^\circ$, а угол $C$ равен $116^\circ$. Эти углы состоят из двух частей: $\angle B = \angle MBA + \angle MBC$ и $\angle C = \angle MCD + \angle MCB$. В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Значит, $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Мы знаем $\angle C = 116^\circ$, значит $\angle A = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$. Мы знаем $\angle B = 124^\circ$, значит $\angle D = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$. Треугольник $MAB$ равнобедренный ($MA=MB=R$), значит $\angle MAB = \angle MBA = \angle A = 64^\circ$. Треугольник $MCD$ равнобедренный ($MC=MD=R$), значит $\angle MDC = \angle MCD = \angle D = 56^\circ$. Теперь найдём углы треугольника $MBC$: $\angle MBC = \angle B - \angle MBA = 124^\circ - 64^\circ = 60^\circ$. $\angle MCB = \angle C - \angle MCD = 116^\circ - 56^\circ = 60^\circ$. Так как $\angle MBC = \angle MCB = 60^\circ$, и треугольник $MBC$ равнобедренный, то он является равносторонним. Следовательно, $MB = MC = BC = 6$. Так как $MB = R$, то радиус описанной окружности $R=6$. Мы знаем, что $AD = 2R$. Значит, $AD = 2 \times 6 = 12$. **Ответ: 12**