Начертите ось координат и постройте единичную полуокружность.

1. Начертите ось координат и постройте единичную полуокружность. :::div .chart-container @chart-1::: 2. Объясните, что такое синус и косинус угла $\alpha$ в промежутке $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. * Синус угла $\alpha$ ($\sin \alpha$) — это ордината точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, отсчитанному от положительного направления оси $Ox$. * Косинус угла $\alpha$ ($\cos \alpha$) — это абсцисса точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, отсчитанному от положительного направления оси $Ox$. 3. Что называется тангенсом угла $\alpha$? Для каких значений $\alpha$ тангенс не определён и почему? * Тангенс угла $\alpha$ ($\text{tg } \alpha$) — это отношение синуса угла к его косинусу, то есть $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. * Тангенс не определён для углов, при которых косинус равен нулю. В промежутке $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ это угол $\alpha = 90^\circ$, потому что $\cos 90^\circ = 0$. 4. Что называется котангенсом угла $\alpha$? Для каких значений $\alpha$ котангенс не определён и почему? * Котангенс угла $\alpha$ ($\text{ctg } \alpha$) — это отношение косинуса угла к его синусу, то есть $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. * Котангенс не определён для углов, при которых синус равен нулю. В промежутке $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ это углы $\alpha = 0^\circ$ и $\alpha = 180^\circ$, потому что $\sin 0^\circ = 0$ и $\sin 180^\circ = 0$. 5. Докажите основное тригонометрическое тождество. * Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. * **Доказательство:** Возьмём точку $M(x, y)$ на единичной окружности, которая соответствует углу $\alpha$. По определению, $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$. Для точки на единичной окружности выполняется уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$. Так как окружность единичная, $R=1$, поэтому $x^2 + y^2 = 1$. Подставляя $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$, получаем $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$. 6. Напишите формулы приведения. * Формулы приведения используются для упрощения тригонометрических выражений с углами вида $(\frac{\pi}{2} \pm \alpha)$, $(\pi \pm \alpha)$, $(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha)$, $(2\pi \pm \alpha)$. Вот некоторые из них: * $\sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$ * $\cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$ * $\sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$ * $\cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha$ * $\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha$ * $\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha$ * $\sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha$ * $\cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha$ 7. Выведите формулы, выражающие координаты точки $A$ с неотрицательной ординатой через длину отрезка $OA$ и угол между лучом $OA$ и положительной полуосью $Ox$. * Пусть длина отрезка $OA$ равна $r$. Координаты точки $A(x,y)$ можно выразить так: * $x = r \cos \alpha$ * $y = r \sin \alpha$ 8. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними). * **Теорема:** Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. * **Формула:** $S = \frac{1}{2}ab \sin C$, где $a, b$ — длины двух сторон треугольника, а $C$ — угол между этими сторонами. * **Доказательство:** Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем высоту $h$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Тогда площадь треугольника $S = \frac{1}{2}AC \cdot h$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$, стороной $a$ и частью стороны $AC$, имеем $\sin C = \frac{h}{a}$, откуда $h = a \sin C$. Подставляя это значение $h$ в формулу площади, получаем $S = \frac{1}{2} b \cdot a \sin C = \frac{1}{2}ab \sin C$. 9. Сформулируйте и докажите теорему синусов. * **Теорема:** Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. * **Формула:** $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, $A, B, C$ — противолежащие углы, а $R$ — радиус описанной около треугольника окружности. * **Доказательство:** Рассмотрим треугольник $ABC$ и описанную вокруг него окружность радиусом $R$. Проведём диаметр $BD$ через вершину $B$. Тогда угол $\angle BAD = 90^\circ$ (так как он опирается на диаметр). Угол $\angle BDA$ равен углу $\angle BCA$ (углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AB$). В прямоугольном треугольнике $BAD$ имеем $\sin(\angle BDA) = \frac{AB}{BD}$. Значит, $\sin C = \frac{c}{2R}$, откуда $c = 2R \sin C$, или $\frac{c}{\sin C} = 2R$. Аналогично можно доказать это для других сторон и углов. 10. Сформулируйте и докажите теорему косинусов. * **Теорема:** Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. * **Формула:** $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $C$ — угол между сторонами $a$ и $b$. * **Доказательство:** Рассмотрим треугольник $ABC$. Введём систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0)$, а сторона $AC$ лежала на оси $Ox$. Тогда координаты вершин будут: $A(0,0)$, $C(b,0)$, $B(a \cos C, a \sin C)$. Используя формулу расстояния между двумя точками для стороны $c = AB$: $c^2 = (a \cos C - 0)^2 + (a \sin C - 0)^2$ $c^2 = a^2 \cos^2 C + a^2 \sin^2 C$ $c^2 = a^2 (\cos^2 C + \sin^2 C)$ Так как $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$, то $c^2 = a^2$. Это верно, если $C=90^\circ$. Но это не доказательство теоремы косинусов в общем виде. Правильное доказательство: Рассмотрим треугольник $ABC$. Опустим высоту $BH$ на сторону $AC$ (или её продолжение). Пусть $AH = x$. Тогда $HC = |b-x|$ (если $H$ лежит на отрезке $AC$) или $HC = b-x$ (если $H$ лежит вне $AC$ с одной стороны) или $HC = x-b$ (с другой стороны). В прямоугольном треугольнике $ABH$: $c^2 = BH^2 + x^2$. В прямоугольном треугольнике $BCH$: $a^2 = BH^2 + (b-x)^2$. Из первого уравнения: $BH^2 = c^2 - x^2$. Подставим во второе: $a^2 = c^2 - x^2 + (b-x)^2$. $a^2 = c^2 - x^2 + b^2 - 2bx + x^2$ $a^2 = c^2 + b^2 - 2bx$. В треугольнике $ABH$, $\cos A = \frac{x}{c}$ (если $A$ острый), то $x = c \cos A$. Если $A$ тупой, то $\cos A = -\frac{x}{c}$ (если $x$ отсчитывается в другую сторону), то $x = -c \cos A$. В общем случае $x = c \cos A$. Подставляем $x = c \cos A$ в формулу: $a^2 = c^2 + b^2 - 2bc \cos A$. Это и есть теорема косинусов. 11. Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются. * «Решение треугольника» означает нахождение всех неизвестных сторон и углов треугольника по известным элементам. * **Три основные задачи:** 1. **По двум сторонам и углу между ними (SAS):** Даны стороны $a, b$ и угол $C$ между ними. Найти сторону $c$ по теореме косинусов ($c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$), затем найти углы $A$ и $B$ по теореме синусов или косинусов. 2. **По стороне и двум прилежащим углам (ASA):** Дана сторона $a$ и углы $B, C$. Найти угол $A$ ($A = 180^\circ - B - C$), затем стороны $b$ и $c$ по теореме синусов ($\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$). 3. **По трём сторонам (SSS):** Даны стороны $a, b, c$. Найти углы по теореме косинусов (например, $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$).