Чему равна разность дробей $\frac{7x^2 - 64a^2}{x(x - 4a)} - \frac{7xa - x^2}{ax - 4a^2}$

Нам нужно найти разность двух дробей: $$\frac{7x^2 - 64a^2}{x(x - 4a)} - \frac{7xa - x^2}{ax - 4a^2}$$Для начала, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что в знаменателе второй дроби можно вынести $a$ за скобки:$$ax - 4a^2 = a(x - 4a)$$Теперь общий знаменатель будет $ax(x - 4a)$. Приведем первую дробь к общему знаменателю, умножив её на $\frac{a}{a}$:$$\frac{7x^2 - 64a^2}{x(x - 4a)} \cdot \frac{a}{a} = \frac{a(7x^2 - 64a^2)}{ax(x - 4a)} = \frac{7ax^2 - 64a^3}{ax(x - 4a)}$$Приведем вторую дробь к общему знаменателю, умножив её на $\frac{x}{x}$:$$\frac{7xa - x^2}{a(x - 4a)} \cdot \frac{x}{x} = \frac{x(7xa - x^2)}{ax(x - 4a)} = \frac{7ax^2 - x^3}{ax(x - 4a)}$$Теперь вычтем вторую дробь из первой:$$\frac{7ax^2 - 64a^3}{ax(x - 4a)} - \frac{7ax^2 - x^3}{ax(x - 4a)} = \frac{7ax^2 - 64a^3 - (7ax^2 - x^3)}{ax(x - 4a)}$$$$= \frac{7ax^2 - 64a^3 - 7ax^2 + x^3}{ax(x - 4a)}$$Сократим подобные члены $7ax^2$ и $-7ax^2$:$$\frac{-64a^3 + x^3}{ax(x - 4a)} = \frac{x^3 - 64a^3}{ax(x - 4a)}$$В числителе мы видим разность кубов $x^3 - (4a)^3$. Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$: $$x^3 - (4a)^3 = (x - 4a)(x^2 + x \cdot 4a + (4a)^2) = (x - 4a)(x^2 + 4ax + 16a^2)$$ Теперь подставим это обратно в дробь:$$\frac{(x - 4a)(x^2 + 4ax + 16a^2)}{ax(x - 4a)}$$Сократим $(x - 4a)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x - 4a \neq 0$, то есть $x \neq 4a$):$$ \frac{x^2 + 4ax + 16a^2}{ax} $$ **Ответ:** $$\frac{x^2 + 4ax + 16a^2}{ax}$$