Вычислите значение выражения: $1\frac{1}{22} \cdot 3\frac{2}{3} - (2\frac{5}{6} + 3\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{23}) \cdot \frac{3}{5}$

1. Сначала переведем смешанные дроби в неправильные: $$1\frac{1}{22} = \frac{1 \cdot 22 + 1}{22} = \frac{23}{22}$$ $$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$$ $$2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$$ $$3\frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{23}{6}$$ 2. Теперь выполним умножение внутри скобок: $$\frac{23}{6} \cdot \frac{7}{23} = \frac{23 \cdot 7}{6 \cdot 23} = \frac{7}{6}$$ 3. Затем сложим дроби в скобках: $$\frac{17}{6} + \frac{7}{6} = \frac{17 + 7}{6} = \frac{24}{6} = 4$$ 4. Теперь умножим полученный результат на $$\frac{3}{5}$$: $$4 \cdot \frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}$$ 5. Выполним умножение в начале выражения: $$\frac{23}{22} \cdot \frac{11}{3} = \frac{23 \cdot 11}{22 \cdot 3} = \frac{23 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{23}{6}$$ 6. Теперь вычтем полученные значения: $$\frac{23}{6} - \frac{12}{5}$$ Приведем дроби к общему знаменателю (30): $$\frac{23 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{12 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{115}{30} - \frac{72}{30} = \frac{115 - 72}{30} = \frac{43}{30}$$ Переведем неправильную дробь в смешанную: $$\frac{43}{30} = 1\frac{13}{30}$$ **Ответ:** $$1\frac{13}{30}$$ 2. Сначала переведем смешанные дроби в неправильные: $$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$$ $$2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6}$$ $$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$$ 3. Выполним сложение в первой скобке: $$\frac{13}{4} + \frac{13}{6}$$ Приведем дроби к общему знаменателю (12): $$\frac{13 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{13 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{39}{12} + \frac{26}{12} = \frac{39 + 26}{12} = \frac{65}{12}$$ 4. Выполним деление в правой части выражения: $$\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$$ 5. Теперь выполним вычитание: $$\frac{13}{5} - \frac{3}{2}$$ Приведем дроби к общему знаменателю (10): $$\frac{13 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{26}{10} - \frac{15}{10} = \frac{26 - 15}{10} = \frac{11}{10}$$ 6. И последнее действие — деление: $$\frac{65}{12} : \frac{11}{10} = \frac{65}{12} \cdot \frac{10}{11} = \frac{65 \cdot 10}{12 \cdot 11} = \frac{65 \cdot 5}{6 \cdot 11} = \frac{325}{66}$$ Переведем неправильную дробь в смешанную: $$\frac{325}{66} = 4\frac{61}{66}$$ **Ответ:** $$4\frac{61}{66}$$