На рисунке 82 $AB=CD$, $AD=BC$, $BE$ — биссектриса угла $ABC$, а $DF$ — биссектриса угла $ADC$. Докажите, что: а) $\angle ABE = \angle ADF$.

Дано: на рисунке 82 $AB=CD$, $AD=BC$, $BE$ — биссектриса угла $ABC$, $DF$ — биссектриса угла $ADC$. а) Доказать: $\angle ABE = \angle ADF$. 1. Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Так как $AB=CD$ и $AD=BC$, то это параллелограмм. Из свойств параллелограмма углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ равны. 2. Так как $BE$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABC$. 3. Так как $DF$ — биссектриса угла $ADC$, то $\angle ADF = \frac{1}{2} \angle ADC$. 4. Поскольку $\angle ABC = \angle ADC$, то $\frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle ADC$. Следовательно, $\angle ABE = \angle ADF$. б) Доказать: $\triangle ABE = \triangle CDF$. 1. Из пункта а) мы знаем, что $ABCD$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны: $AB=CD$ (дано), $AD=BC$ (дано). 2. Также из пункта а) мы знаем, что $\angle ABE = \angle ADF$. Но нам нужно рассмотреть $\triangle CDF$. В параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180^\circ$. Значит, $\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$ и $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$. 3. Мы знаем, что $\angle ABC = \angle ADC$. Также $\angle BCD = \angle DAB$. 4. В $\triangle ABE$: сторона $AB$, угол $\angle ABE$. Угол $\angle BAE = \angle DAB$. 5. В $\triangle CDF$: сторона $CD$, угол $\angle CDF$. Угол $\angle DCF = \angle BCD$. 6. Так как $BE$ — биссектриса $\angle ABC$, то $\angle ABE = \angle EBC = \frac{1}{2} \angle ABC$. 7. Так как $DF$ — биссектриса $\angle ADC$, то $\angle ADF = \angle CDF = \frac{1}{2} \angle ADC$. 8. Поскольку $\angle ABC = \angle ADC$, то $\angle ABE = \angle CDF$. 9. У нас есть $AB=CD$ (дано). 10. Углы $\angle DAB$ и $\angle BCD$ равны как противолежащие углы параллелограмма. Значит, $\angle BAE = \angle DCF$. 11. Таким образом, в $\triangle ABE$ и $\triangle CDF$ имеем: - $AB = CD$ (по условию) - $\angle ABE = \angle CDF$ (доказано в п. 8) - $\angle BAE = \angle DCF$ (противолежащие углы параллелограмма) 12. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABE = \triangle CDF$. **Ответ:** а) $\angle ABE = \angle ADF$. б) $\triangle ABE = \triangle CDF$.