Докажите, что ABCD — ромб.

Дано: * $ABCD$ — параллелограмм * $KA \perp \text{плоскости } ABCD$ * $O$ — точка пересечения $AC$ и $BD$ * $KO \perp BD$ Докажите, что $ABCD$ — ромб. ### Доказательство: 1. Так как $KA \perp \text{плоскости } ABCD$, то $KA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, $KA \perp BD$. 2. Нам дано, что $KO \perp BD$. 3. Мы получили, что прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $KA$ и $KO$, которые лежат в плоскости $KOA$. 4. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и всей плоскости, в которой лежат эти прямые. То есть $BD \perp \text{плоскости } KOA$. 5. Так как $BD \perp \text{плоскости } KOA$, то $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. А прямая $AO$ лежит в плоскости $KOA$. 6. Значит, $BD \perp AO$. 7. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны ($BD \perp AO$, а $AO$ — это часть диагонали $AC$), то этот параллелограмм является ромбом. **Что и требовалось доказать.**