Решить уравнение $1 + 7\cos^2 x = 3\sin 2x$

Нам дано уравнение: $$1 + 7\cos^2 x = 3\sin 2x$$ Воспользуемся формулами двойного угла и основным тригонометрическим тождеством: $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$ $$1 = \sin^2 x + \cos^2 x$$ Подставим эти выражения в наше уравнение: $$\sin^2 x + \cos^2 x + 7\cos^2 x = 3(2\sin x \cos x)$$ Упрощаем левую часть и раскрываем скобки в правой: $$\sin^2 x + 8\cos^2 x = 6\sin x \cos x$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\sin^2 x + 8\cos^2 x - 6\sin x \cos x = 0$$ Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим все члены уравнения на $\cos^2 x$. Важно помнить, что $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то и $\sin x = \pm 1$, что приведёт к $1=0$ или $-1=0$, что невозможно. $$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{8\cos^2 x}{\cos^2 x} - \frac{6\sin x \cos x}{\cos^2 x} = 0$$ $$\tan^2 x + 8 - 6\tan x = 0$$ Упорядочим уравнение, получим квадратное уравнение относительно $\tan x$: $$\tan^2 x - 6\tan x + 8 = 0$$ Пусть $t = \tan x$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 6t + 8 = 0$$ Найдём корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4$. Корни $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$t_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Теперь вернёмся к замене $t = \tan x$: 1. $\tan x = 4$ $$x = \arctan 4 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 2. $\tan x = 2$ $$x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $x = \arctan 4 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$