Решите систему уравнений, используя способ сложения

а) Система уравнений: $$\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14 \\ x^2 + 2y^2 = 18 \end{cases}$$ Сложим два уравнения: $$ (x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = 14 + 18 $$ $$ 2x^2 = 32 $$ $$ x^2 = 16 $$ $$ x = \pm 4 $$ Подставим $x^2 = 16$ во второе уравнение: $$ 16 + 2y^2 = 18 $$ $$ 2y^2 = 18 - 16 $$ $$ 2y^2 = 2 $$ $$ y^2 = 1 $$ $$ y = \pm 1 $$ Возможные пары $(x,y)$: $(4,1)$, $(4,-1)$, $(-4,1)$, $(-4,-1)$. **Ответ:** $(4,1)$, $(4,-1)$, $(-4,1)$, $(-4,-1)$ б) Система уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 61 \\ x^2 - y^2 = 11 \end{cases}$$ Сложим два уравнения: $$ (x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 61 + 11 $$ $$ 2x^2 = 72 $$ $$ x^2 = 36 $$ $$ x = \pm 6 $$ Подставим $x^2 = 36$ в первое уравнение: $$ 36 + y^2 = 61 $$ $$ y^2 = 61 - 36 $$ $$ y^2 = 25 $$ $$ y = \pm 5 $$ Возможные пары $(x,y)$: $(6,5)$, $(6,-5)$, $(-6,5)$, $(-6,-5)$. **Ответ:** $(6,5)$, $(6,-5)$, $(-6,5)$, $(-6,-5)$ в) Система уравнений: $$\begin{cases} xy + x = 56 \\ xy + y = 54 \end{cases}$$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ (xy + x) - (xy + y) = 56 - 54 $$ $$ xy + x - xy - y = 2 $$ $$ x - y = 2 $$ Выразим $x$ через $y$: $$ x = y + 2 $$ Подставим $x = y + 2$ в первое уравнение: $$ (y+2)y + (y+2) = 56 $$ $$ y^2 + 2y + y + 2 = 56 $$ $$ y^2 + 3y + 2 - 56 = 0 $$ $$ y^2 + 3y - 54 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 $$ $$ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ y_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$ $$ y_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9 $$ Теперь найдем соответствующие значения $x$: Для $y_1 = 6$: $$ x_1 = y_1 + 2 = 6 + 2 = 8 $$ Для $y_2 = -9$: $$ x_2 = y_2 + 2 = -9 + 2 = -7 $$ Возможные пары $(x,y)$: $(8,6)$, $(-7,-9)$. **Ответ:** $(8,6)$, $(-7,-9)$