Найдите углы параллелограмма ABCD, если $\angle A = 84^\circ$

376. Найдите углы параллелограмма ABCD, если: а) $\angle A = 84^\circ$ В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно: * $\angle C = \angle A = 84^\circ$ * $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$ * $\angle D = \angle B = 96^\circ$ **Ответ: $\angle A = 84^\circ, \angle B = 96^\circ, \angle C = 84^\circ, \angle D = 96^\circ$** б) $\angle A - \angle B = 55^\circ$ Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, имеем: * $\angle A + \angle B = 180^\circ$ Получаем систему уравнений: $$\begin{cases} \angle A - \angle B = 55^\circ \\ \angle A + \angle B = 180^\circ \end{cases}$$ Сложим оба уравнения: $$( \angle A - \angle B ) + ( \angle A + \angle B ) = 55^\circ + 180^\circ$$ $$2 \angle A = 235^\circ$$ $$\angle A = \frac{235^\circ}{2} = 117.5^\circ$$ Теперь найдём $\angle B$: $$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^^\circ - 117.5^\circ = 62.5^\circ$$ Используя свойства параллелограмма: * $\angle C = \angle A = 117.5^\circ$ * $\angle D = \angle B = 62.5^\circ$ **Ответ: $\angle A = 117.5^\circ, \angle B = 62.5^\circ, \angle C = 117.5^\circ, \angle D = 62.5^\circ$** в) $\angle A + \angle C = 142^\circ$ В параллелограмме противоположные углы равны, то есть $\angle A = \angle C$. Значит: $$2 \angle A = 142^\circ$$ $$\angle A = \frac{142^\circ}{2} = 71^\circ$$ Тогда: * $\angle C = 71^\circ$ * $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$ * $\angle D = \angle B = 109^\circ$ **Ответ: $\angle A = 71^\circ, \angle B = 109^\circ, \angle C = 71^\circ, \angle D = 109^\circ$** г) $\angle A = 2\angle B$ Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, имеем: * $\angle A + \angle B = 180^\circ$ Подставим $\angle A = 2\angle B$ в уравнение: $$2\angle B + \angle B = 180^\circ$$ $$3\angle B = 180^\circ$$ $$\angle B = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$$ Тогда: * $\angle A = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$ * $\angle C = \angle A = 120^\circ$ * $\angle D = \angle B = 60^\circ$ **Ответ: $\angle A = 120^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 120^\circ, \angle D = 60^\circ$** д) $\angle CAD = 16^\circ$, $\angle ACD = 37^\circ$ Углы параллелограмма — это $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Данные углы $\angle CAD$ и $\angle ACD$ являются углами треугольника $ACD$. 1. Найдём $\angle D$ в треугольнике $ACD$: $$\angle D = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD)$$ $$\angle D = 180^\circ - (16^\circ + 37^\circ)$$ $$\angle D = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$$ 2. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то $\angle B = \angle D = 127^\circ$. 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Поэтому: $$\angle A = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 127^\circ = 53^\circ$$ 4. И, наконец, $\angle C = \angle A = 53^\circ$. **Ответ: $\angle A = 53^\circ, \angle B = 127^\circ, \angle C = 53^\circ, \angle D = 127^\circ$**