Коля стёр все цифры в примере на доске и написал вместо них буквы. Вместо одинаковых цифр он написал одинаковые буквы, а вместо разных цифр – разные буквы. Помоги Маше догадаться, какие числа были в примере.

Давай разберем эту головоломку. У нас есть сложение в столбик: ``` КОКА + КОЛА ------ ВОДА ``` Здесь одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры. Посмотрим на последние цифры (крайний правый столбец): $А + А = А$ или $А + А = 10 + А$ Это возможно только если $А=0$. Тогда $0 + 0 = 0$. Теперь посмотрим на предпоследние цифры (второй справа столбец): $К + Л = Д$ или $К + Л = 10 + Д$ (если был перенос из предыдущего столбца, но у нас $А+А=0$, так что переноса не было). Посмотрим на второй слева столбец: $О + О = А$ или $О + О = 10 + А$ Так как $А=0$, то $О + О = 0$ или $О + О = 10$. Если $О + О = 0$, то $О=0$. Но буквы должны быть разными цифрами, а $А=0$, значит $О$ не может быть $0$. Тогда $О + О = 10$, откуда $О=5$. Значит, $О=5$. И был перенос $1$ в следующий (самый левый) столбец. Теперь самый левый столбец: $1 + К = В$ (единица — это перенос из предыдущего столбца). Вернемся ко второму справа столбцу: $К + Л = Д$. У нас есть цифры $0$ (для $А$) и $5$ (для $О$). Давай попробуем подставить значения. Зная, что $О=5$ и $А=0$, получим: ``` К5К0 + К5Л0 ------ В5Д0 ``` Из второго справа столбца $К+Л = Д$ (или $К+Л=10+Д$). Здесь нет переноса в третий столбец, потому что $5+5=10$, поэтому перенос $1$ из второго столбца был в первый столбец. Так как $О+О=10$, то над $К$ и $К$ в первом столбце должен быть перенос $1$. Значит, $1 + К + К = В$ (если нет переноса из $К+Л=Д$). Давай перепишем: ``` КОКА (1000K + 500 + 10K + 0) + КОЛА (1000K + 500 + 10L + 0) ------ ВОДА (1000V + 500 + 10D + 0) ``` Это неправильно, так как числа складываются по столбцам, а не как $1000К + 500 + 10К + 0$. Правильная запись: $1000К + 100О + 10К + А + 1000К + 100О + 10Л + А = 1000В + 100О + 10Д + А$. Мы уже знаем: $А = 0$ $О = 5$ Тогда уравнение становится: $1000К + 100 \cdot 5 + 10К + 0 + 1000К + 100 \cdot 5 + 10Л + 0 = 1000В + 100 \cdot 5 + 10Д + 0$ $2010К + 1000 + 10Л = 1000В + 500 + 10Д$ $2010К + 10Л + 500 = 1000В + 10Д$ Давай вернемся к сложению в столбик: 1. **Правый столбец (единицы):** $А+А=А$. Отсюда $А=0$. Переноса нет. 2. **Второй столбец справа (десятки):** $К+Л=Д$. Переноса пока нет, так как $К$ и $Л$ — это цифры. Запомним этот столбец. 3. **Третий столбец справа (сотни):** $О+О=О$. Должен быть перенос из предыдущего столбца, иначе $О$ тоже будет $0$, что невозможно, так как $А=0$. Значит, $О+О = 10+О$. Это означает, что из столбца десятков (где $К+Л$) был перенос $1$. Если $О+О=10+О$, то $О=10$. Но $О$ — это цифра, она не может быть $10$. Подожди, здесь ошибка в рассуждениях. На самом деле $О+О$ должно давать $О$ в сумме и возможный перенос в следующий разряд. $О+О = О$ или $О+О = 10+О$. Если $О+О=О$, то $О=0$. Но $А=0$, а буквы должны быть разные. Значит, $О+О$ дает $О$ *плюс* перенос в следующий разряд. Это означает, что $О+О$ должно быть больше или равно $10$, чтобы был перенос $1$. Тогда $О+О = 10+О$ это неверно. Правильно так: $О+О = ...О$ (если нет переноса от $К+Л$) или $О+О+1 = ...О$ (если был перенос от $К+Л$). Давай еще раз по столбцам, аккуратно: * **Столбец единиц:** $А+А=А$. Единственный вариант, чтобы это сработало, это $А=0$. Переноса в следующий столбец нет. * **Столбец десятков:** $К+Л=Д$. Переноса из единиц нет. * **Столбец сотен:** $О+О$. Сумма должна дать цифру $О$ в разряде сотен и возможный перенос в разряд тысяч. Это значит, что $О+О = 10 + О$. Такого быть не может. Это же $КОКА + КОЛА = ВОДА$. У нас $О$ в разряде сотен. Это значит, что $О+О$ заканчивается на $О$. Это возможно только если $О=0$. Но $А=0$, и буквы должны быть разными. Значит, из разряда десятков ($К+Л$) должен быть перенос $1$. Тогда $О+О+1 = 1О'$ (где $О'$ это $О$ в числе $ВОДА$). Но в задании написано, что $О$ в слове $КОКА$ и $КОЛА$ — это одна и та же цифра, и $О$ в слове $ВОДА$ — это та же цифра. Тогда: $О+О+ (перенос из десятков) = О + (перенос в тысячи)$. Тогда $О+О+перенос = О + 10 imes перенос-в-тысячи$ Если переноса из десятков нет, то $О+О = О$ (невозможно, кроме $О=0$, но $А=0$). Значит, из десятков ($К+Л$) *есть* перенос $1$. Тогда $О+О+1 = О + 10 imes (перенос-в-тысячи)$. $О+1 = 10 imes (перенос-в-тысячи)$. Это возможно только если $перенос-в-тысячи = 1$. Тогда $О+1=10$, откуда $О=9$. Значит, $О=9$. И из $К+Л$ был перенос $1$. * **Столбец тысяч:** $К+К + (перенос из сотен) = В$. Мы знаем, что из сотен ($О+О+1$) был перенос $1$. Значит, $К+К+1 = В$. Итак, у нас: 1. $А=0$ 2. $О=9$ 3. Из $К+Л$ был перенос $1$. Значит, $К+Л = 10+Д$. (Так как $Д$ - это цифра) 4. Из $О+О+1$ (то есть $9+9+1=19$) был перенос $1$ в разряд тысяч. 5. $К+К+1 = В$. Буквы $К, О, Л, А, В, Д$ должны быть разными цифрами. Уже заняты: $А=0$, $О=9$. Подумаем о $К+Л = 10+Д$. $К$ и $Л$ — это цифры, не $0$ и не $9$. $Д$ тоже не $0$ и не $9$. Наименьшая сумма $К+Л$ для переноса $1$ — это $10$ ($1+9$, но $9$ занята, $2+8$, $3+7$ и т.д.). Наибольшая сумма $К+Л$ — это $8+7=15$ (без $9$, $0$). Теперь $К+К+1 = В$. $К$ не может быть $0$ или $9$. Если $К=1$, то $1+1+1=3$, $В=3$. (К=1, О=9, Л=неизвестно, А=0, В=3, Д=неизвестно) Тогда $1+Л=10+Д$. $Л = 9+Д$. $Д$ не $0, 9, 1, 3$. Если $Д=2$, $Л=11$ (нельзя). Если $Д=4$, $Л=13$ (нельзя). Значит, $К$ должна быть больше. Попробуем $К=6$. $6+6+1=13$. Значит, $В=1$ (и $1$ перенос в следующий разряд, но его нет). Это значит, что $В$ должна быть однозначной цифрой. Проблема в том, что $ВОДА$ — это четырехзначное число. Значит $В$ — это просто цифра $K+K+1$. Давай подберем $К$ и $Л$ так, чтобы $К+Л=10+Д$ и $К+К+1=В$. Свободные цифры: $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8$. Предположим $К=8$. Тогда $К+К+1 = 8+8+1 = 17$. $В=7$. (У нас $В$ должно быть одной цифрой) Это не совсем так. $К+К+1$ - это цифра $В$ и возможный перенос в следующий разряд, но так как $ВОДА$ - 4-значное число, то переноса не должно быть. Это значит $К+К+1 < 10$. Если $К+К+1 < 10$, то $2К+1 < 10$, $2К < 9$, $К < 4.5$. Значит $К$ может быть $1, 2, 3, 4$. Давай попробуем $К=1$. $К=1$, $О=9$, $А=0$. $1+1+1=3$. Значит $В=3$. Свободные цифры: $2, 4, 6, 7, 8$. Теперь $К+Л=10+Д ightarrow 1+Л=10+Д ightarrow Л=9+Д$. $Л$ и $Д$ должны быть из свободных цифр: $2, 4, 6, 7, 8$. Если $Д=2$, $Л=11$ (не подходит). Если $Д=4$, $Л=13$ (не подходит). Если $Д=6$, $Л=15$ (не подходит). Давай попробуем $К=2$. $К=2$, $О=9$, $А=0$. $2+2+1=5$. Значит $В=5$. Свободные цифры: $1, 3, 4, 6, 7, 8$. Теперь $К+Л=10+Д ightarrow 2+Л=10+Д ightarrow Л=8+Д$. $Л$ и $Д$ должны быть из свободных цифр: $1, 3, 4, 6, 7, 8$. Если $Д=1$, $Л=9$ (но $О=9$, значит $Л$ не может быть $9$). Если $Д=3$, $Л=11$ (не подходит). Давай попробуем $К=3$. $К=3$, $О=9$, $А=0$. $3+3+1=7$. Значит $В=7$. Свободные цифры: $1, 2, 4, 5, 6, 8$. Теперь $К+Л=10+Д ightarrow 3+Л=10+Д ightarrow Л=7+Д$. $Л$ и $Д$ должны быть из свободных цифр: $1, 2, 4, 5, 6, 8$. Если $Д=1$, $Л=8$. Проверим: $К=3, О=9, Л=8, А=0, В=7, Д=1$. Все цифры разные: $3, 9, 8, 0, 7, 1$. Да! Проверим сложение: 3930 ($КОКА$) + 3980 ($КОЛА$) -------- 7910 ($ВОДА$) Единицы: $0+0=0$. (А=0) Десятки: $3+8=11$. Пишем $1$ ($Д=1$), $1$ переносим в сотни. Сотни: $9+9+1=19$. Пишем $9$ ($О=9$), $1$ переносим в тысячи. Тысячи: $3+3+1=7$. Пишем $7$ ($В=7$). Все совпало! Значит: КОКА = 3930 КОЛА = 3980 ВОДА = 7910 **Ответ:** КОКА = 3930 КОЛА = 3980 ВОДА = 7910