Напишите уравнение окружности, проходящей через точки A(-3; 0) и B(0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

1. Уравнение окружности имеет вид $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где $$(a; b)$$ — центр окружности, а $$R$$ — её радиус. По условию, центр окружности лежит на оси ординат, значит, его координаты $$(0; b)$$. Так как окружность проходит через точки $$A(-3; 0)$$ и $$B(0; 9)$$, то расстояние от центра до каждой из этих точек равно радиусу окружности. То есть: $$(x_A - a)^2 + (y_A - b)^2 = R^2$$ $$(-3 - 0)^2 + (0 - b)^2 = R^2$$ $$(-3)^2 + (-b)^2 = R^2$$ $$9 + b^2 = R^2$$ (1) $$(x_B - a)^2 + (y_B - b)^2 = R^2$$ $$(0 - 0)^2 + (9 - b)^2 = R^2$$ $$0^2 + (9 - b)^2 = R^2$$ $$(9 - b)^2 = R^2$$ (2) Приравняем правые части уравнений (1) и (2): $$9 + b^2 = (9 - b)^2$$ $$9 + b^2 = 81 - 18b + b^2$$ $$9 = 81 - 18b$$ $$18b = 81 - 9$$ $$18b = 72$$ $$b = \frac{72}{18}$$ $$b = 4$$ Теперь найдем радиус $$R$$ с помощью уравнения (1): $$R^2 = 9 + b^2$$ $$R^2 = 9 + 4^2$$ $$R^2 = 9 + 16$$ $$R^2 = 25$$ Итак, центр окружности находится в точке $$(0; 4)$$, а радиус в квадрате равен $$25$$. Тогда уравнение окружности: $$(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 25$$ $$x^2 + (y - 4)^2 = 25$$ **Ответ:** $$x^2 + (y - 4)^2 = 25$$ 2. Уравнение прямой, проходящей через две точки $$(x_1; y_1)$$ и $$(x_2; y_2)$$, можно найти по формуле: $$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$$ Или сначала найти угловой коэффициент $$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$, а затем использовать формулу $$y - y_1 = k(x - x_1)$$. а) Точки $$A(1; -1)$$ и $$B(-3; 2)$$ $$x_1 = 1, y_1 = -1$$ $$x_2 = -3, y_2 = 2$$ Найдем угловой коэффициент: $$k = \frac{2 - (-1)}{-3 - 1} = \frac{2 + 1}{-4} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$$ Теперь подставим в формулу $$y - y_1 = k(x - x_1)$$. $$y - (-1) = -\frac{3}{4}(x - 1)$$ $$y + 1 = -\frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$$ $$y = -\frac{3}{4}x + \frac{3}{4} - 1$$ $$y = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$$ Умножим все на 4, чтобы избавиться от дробей: $$4y = -3x - 1$$ $$3x + 4y + 1 = 0$$ **Ответ:** $$3x + 4y + 1 = 0$$ б) Точки $$C(2; 5)$$ и $$D(5; 2)$$ $$x_1 = 2, y_1 = 5$$ $$x_2 = 5, y_2 = 2$$ Найдем угловой коэффициент: $$k = \frac{2 - 5}{5 - 2} = \frac{-3}{3} = -1$$ Теперь подставим в формулу $$y - y_1 = k(x - x_1)$$. $$y - 5 = -1(x - 2)$$ $$y - 5 = -x + 2$$ $$y = -x + 2 + 5$$ $$y = -x + 7$$ $$x + y - 7 = 0$$ **Ответ:** $$x + y - 7 = 0$$ в) Точки $$M(0; 1)$$ и $$N(-4; -5)$$ $$x_1 = 0, y_1 = 1$$ $$x_2 = -4, y_2 = -5$$ Найдем угловой коэффициент: $$k = \frac{-5 - 1}{-4 - 0} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$$ Теперь подставим в формулу $$y - y_1 = k(x - x_1)$$. $$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 0)$$ $$y - 1 = \frac{3}{2}x$$ $$y = \frac{3}{2}x + 1$$ Умножим все на 2: $$2y = 3x + 2$$ $$3x - 2y + 2 = 0$$ **Ответ:** $$3x - 2y + 2 = 0$$