Реши примеры

1. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. а) $\frac{3}{10} + \frac{7}{15}$ Общий знаменатель для 10 и 15 — это 30. $\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{9}{30} + \frac{14}{30} = \frac{9 + 14}{30} = \frac{23}{30}$ б) $8\frac{5}{6} + 1\frac{3}{4}$ Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $8\frac{5}{6} = \frac{8 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{48 + 5}{6} = \frac{53}{6}$ $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$ Теперь сложим дроби. Общий знаменатель для 6 и 4 — это 12. $\frac{53}{6} + \frac{7}{4} = \frac{53 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{106}{12} + \frac{21}{12} = \frac{106 + 21}{12} = \frac{127}{12}$ Выделим целую часть: $$\begin{array}{ccc|l} 1 & 2 & 7 & 12 \\ \hline 1 & 2 & & 10 \\ \hline & 0 & 7 \end{array}$$ Значит, $10\frac{7}{12}$. в) $\frac{9}{20} - \frac{9}{25}$ Общий знаменатель для 20 и 25 — это 100. $\frac{9 \cdot 5}{20 \cdot 5} - \frac{9 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{45}{100} - \frac{36}{100} = \frac{45 - 36}{100} = \frac{9}{100}$ г) $3\frac{7}{12} - 2\frac{3}{8}$ Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $3\frac{7}{12} = \frac{3 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{36 + 7}{12} = \frac{43}{12}$ $2\frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{16 + 3}{8} = \frac{19}{8}$ Теперь вычтем дроби. Общий знаменатель для 12 и 8 — это 24. $\frac{43}{12} - \frac{19}{8} = \frac{43 \cdot 2}{12 \cdot 2} - \frac{19 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{86}{24} - \frac{57}{24} = \frac{86 - 57}{24} = \frac{29}{24}$ Выделим целую часть: $$\begin{array}{cc|l} 2 & 9 & 24 \\ \hline 2 & 4 & 1 \\ \hline & 5 \end{array}$$ Значит, $1\frac{5}{24}$. д) $15\frac{5}{6} + 17\frac{5}{9}$ Сложим целые части и дробные части отдельно: $(15 + 17) + (\frac{5}{6} + \frac{5}{9}) = 32 + (\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2}) = 32 + (\frac{15}{18} + \frac{10}{18}) = 32 + \frac{15 + 10}{18} = 32 + \frac{25}{18}$ Выделим целую часть из $\frac{25}{18}$: $$\begin{array}{cc|l} 2 & 5 & 18 \\ \hline 1 & 8 & 1 \\ \hline & 7 \end{array}$$ Значит, $\frac{25}{18} = 1\frac{7}{18}$. Теперь сложим: $32 + 1\frac{7}{18} = 33\frac{7}{18}$ е) $10 - 4\frac{11}{14}$ Представим 10 как $9\frac{14}{14}$: $10 - 4\frac{11}{14} = 9\frac{14}{14} - 4\frac{11}{14} = (9 - 4) + (\frac{14}{14} - \frac{11}{14}) = 5 + \frac{14 - 11}{14} = 5 + \frac{3}{14} = 5\frac{3}{14}$ ж) $8\frac{1}{21} - 5\frac{9}{14}$ Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $8\frac{1}{21} = \frac{8 \cdot 21 + 1}{21} = \frac{168 + 1}{21} = \frac{169}{21}$ $5\frac{9}{14} = \frac{5 \cdot 14 + 9}{14} = \frac{70 + 9}{14} = \frac{79}{14}$ Общий знаменатель для 21 и 14 — это 42. $\frac{169}{21} - \frac{79}{14} = \frac{169 \cdot 2}{21 \cdot 2} - \frac{79 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{338}{42} - \frac{237}{42} = \frac{338 - 237}{42} = \frac{101}{42}$ Выделим целую часть: $$\begin{array}{ccc|l} 1 & 0 & 1 & 42 \\ \hline & 8 & 4 & 2 \\ \hline & 1 & 7 \end{array}$$ Значит, $2\frac{17}{42}$. з) $7\frac{11}{12} - 3\frac{5}{6}$ Вычтем целые части и дробные части отдельно: $(7 - 3) + (\frac{11}{12} - \frac{5}{6}) = 4 + (\frac{11}{12} - \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2}) = 4 + (\frac{11}{12} - \frac{10}{12}) = 4 + \frac{11 - 10}{12} = 4 + \frac{1}{12} = 4\frac{1}{12}$ и) $\frac{17}{28} + 5\frac{13}{14}$ Переведем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{13}{14} = \frac{5 \cdot 14 + 13}{14} = \frac{70 + 13}{14} = \frac{83}{14}$ Общий знаменатель для 28 и 14 — это 28. $\frac{17}{28} + \frac{83}{14} = \frac{17}{28} + \frac{83 \cdot 2}{14 \cdot 2} = \frac{17}{28} + \frac{166}{28} = \frac{17 + 166}{28} = \frac{183}{28}$ Выделим целую часть: $$\begin{array}{ccc|l} 1 & 8 & 3 & 28 \\ \hline 1 & 6 & 8 & 6 \\ \hline & 1 & 5 \end{array}$$ Значит, $6\frac{15}{28}$. к) $3\frac{7}{10} - \frac{5}{8}$ Переведем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{7}{10} = \frac{3 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{30 + 7}{10} = \frac{37}{10}$ Общий знаменатель для 10 и 8 — это 40. $\frac{37}{10} - \frac{5}{8} = \frac{37 \cdot 4}{10 \cdot 4} - \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{148}{40} - \frac{25}{40} = \frac{148 - 25}{40} = \frac{123}{40}$ Выделим целую часть: $$\begin{array}{ccc|l} 1 & 2 & 3 & 40 \\ \hline & 8 & 0 & 3 \\ \hline & 4 & 3 \end{array}$$ Значит, $3\frac{3}{40}$. л) $10\frac{3}{10} + \frac{17}{20}$ Сложим целую и дробные части. Общий знаменатель для 10 и 20 — это 20. $10 + (\frac{3}{10} + \frac{17}{20}) = 10 + (\frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{17}{20}) = 10 + (\frac{6}{20} + \frac{17}{20}) = 10 + \frac{6 + 17}{20} = 10 + \frac{23}{20}$ Выделим целую часть из $\frac{23}{20}$: $$\begin{array}{cc|l} 2 & 3 & 20 \\ \hline 2 & 0 & 1 \\ \hline & 3 \end{array}$$ Значит, $\frac{23}{20} = 1\frac{3}{20}$. Теперь сложим: $10 + 1\frac{3}{20} = 11\frac{3}{20}$ м) $\frac{13}{15} - \frac{7}{15}$ Знаменатели одинаковые, просто вычитаем числители: $\frac{13 - 7}{15} = \frac{6}{15}$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$ **Ответ:** а) $\frac{23}{30}$ б) $10\frac{7}{12}$ в) $\frac{9}{100}$ г) $1\frac{5}{24}$ д) $33\frac{7}{18}$ е) $5\frac{3}{14}$ ж) $2\frac{17}{42}$ з) $4\frac{1}{12}$ и) $6\frac{15}{28}$ к) $3\frac{3}{40}$ л) $11\frac{3}{20}$ м) $\frac{2}{5}$