Вычислите значение выражения $$\frac{15^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}}$$

Чтобы решить это выражение, нужно вспомнить свойства степеней: 1. Произведение степеней с одинаковым показателем: $$(ab)^n = a^n b^n$$ 2. Деление степеней с одинаковым основанием: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ 3. Разложение числа на множители: $$15 = 3 \cdot 5$$ Теперь применим эти правила: $$ \frac{15^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} = \frac{(3 \cdot 5)^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} $$ $$ = \frac{3^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} $$ Сначала разберемся с множителями $3^{\frac{2}{3}}$ и $3^{\frac{7}{3}}$ в числителе. У них одинаковое основание, поэтому показатели можно сложить: $$ 3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}} = 3^{\frac{2}{3} + \frac{7}{3}} = 3^{\frac{9}{3}} = 3^3 $$ Теперь выражение выглядит так: $$ \frac{3^3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} $$ Теперь разберемся с множителями $5^{\frac{2}{3}}$ и $5^{-\frac{1}{3}}$. У них одинаковое основание, поэтому при делении показатели вычитаются: $$ \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} = 5^{\frac{2}{3} - (-\frac{1}{3})} = 5^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 5^{\frac{3}{3}} = 5^1 = 5 $$ Теперь осталось только перемножить полученные результаты: $$ 3^3 \cdot 5 = 27 \cdot 5 = 135 $$ **Ответ: 135**