1. Вычислите: $\frac{7}{9} - \frac{5}{6} + \frac{4}{15}$
Для начала найдем общий знаменатель для дробей $9, 6, 15$. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел равно 90.
Затем приведем все дроби к общему знаменателю:
$$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{70}{90}$$
$$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 15}{6 \cdot 15} = \frac{75}{90}$$
$$\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{24}{90}$$
Теперь выполним вычитание и сложение:
$$\frac{70}{90} - \frac{75}{90} + \frac{24}{90} = \frac{70 - 75 + 24}{90} = \frac{-5 + 24}{90} = \frac{19}{90}$$
**Ответ:** $\frac{19}{90}$
2. Вычислите: $(\frac{2}{3} - \frac{4}{9}) \cdot \frac{3}{8}$
Сначала выполним действие в скобках. Найдем общий знаменатель для $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{9}$. Это 9.
$$\frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9} = \frac{6}{9} - \frac{4}{9} = \frac{6 - 4}{9} = \frac{2}{9}$$
Теперь умножим полученный результат на $\frac{3}{8}$:
$$\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \frac{6}{72}$$
Сократим дробь $\frac{6}{72}$, разделив числитель и знаменатель на 6:
$$\frac{6 \div 6}{72 \div 6} = \frac{1}{12}$$
**Ответ:** $\frac{1}{12}$
3. Вычислите: $\frac{2}{7} + \frac{3}{8} : \frac{7}{32}$. Ответ запишите в виде дроби.
Сначала выполним деление $\frac{3}{8} : \frac{7}{32}$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь:
$$\frac{3}{8} : \frac{7}{32} = \frac{3}{8} \cdot \frac{32}{7} = \frac{3 \cdot 32}{8 \cdot 7} = \frac{96}{56}$$
Сократим дробь $\frac{96}{56}$, разделив числитель и знаменатель на 8:
$$\frac{96 \div 8}{56 \div 8} = \frac{12}{7}$$
Теперь выполним сложение: $\frac{2}{7} + \frac{12}{7}$
$$\frac{2}{7} + \frac{12}{7} = \frac{2 + 12}{7} = \frac{14}{7}$$
Сократим дробь $\frac{14}{7}$:
$$\frac{14}{7} = 2$$
**Ответ:** $2$ (или $\frac{2}{1}$)
4. Вычислите: $\frac{5}{9} \cdot (\frac{7}{9} + \frac{11}{18})$. Ответ запишите в виде дроби.
Сначала выполним действие в скобках. Найдем общий знаменатель для $\frac{7}{9}$ и $\frac{11}{18}$. Это 18.
$$\frac{7}{9} + \frac{11}{18} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{11}{18} = \frac{14}{18} + \frac{11}{18} = \frac{14 + 11}{18} = \frac{25}{18}$$
Теперь умножим $\frac{5}{9}$ на полученный результат:
$$\frac{5}{9} \cdot \frac{25}{18} = \frac{5 \cdot 25}{9 \cdot 18} = \frac{125}{162}$$
**Ответ:** $\frac{125}{162}$
5. Вычислите: $1 - \frac{4}{7} : \frac{16}{21}$. Ответ запишите в виде дроби.
Сначала выполним деление $\frac{4}{7} : \frac{16}{21}$. Для этого умножим на обратную дробь:
$$\frac{4}{7} : \frac{16}{21} = \frac{4}{7} \cdot \frac{21}{16} = \frac{4 \cdot 21}{7 \cdot 16} = \frac{84}{112}$$
Сократим дробь $\frac{84}{112}$. Можно разделить на 28:
$$\frac{84 \div 28}{112 \div 28} = \frac{3}{4}$$
Теперь выполним вычитание: $1 - \frac{3}{4}$
$$1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{4 - 3}{4} = \frac{1}{4}$$
**Ответ:** $\frac{1}{4}$
6. Вычислите: $\frac{5}{12} \cdot (\frac{1}{5} + \frac{3}{25})$
Сначала выполним действие в скобках. Найдем общий знаменатель для $\frac{1}{5}$ и $\frac{3}{25}$. Это 25.
$$\frac{1}{5} + \frac{3}{25} = \frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{3}{25} = \frac{5}{25} + \frac{3}{25} = \frac{5 + 3}{25} = \frac{8}{25}$$
Теперь умножим $\frac{5}{12}$ на полученный результат:
$$\frac{5}{12} \cdot \frac{8}{25} = \frac{5 \cdot 8}{12 \cdot 25} = \frac{40}{300}$$
Сократим дробь $\frac{40}{300}$. Разделим числитель и знаменатель на 20:
$$\frac{40 \div 20}{300 \div 20} = \frac{2}{15}$$
**Ответ:** $\frac{2}{15}$
7. Вычислите: $\frac{7}{39} \cdot (\frac{1}{7} + \frac{6}{49})$
Сначала выполним действие в скобках. Найдем общий знаменатель для $\frac{1}{7}$ и $\frac{6}{49}$. Это 49.
$$\frac{1}{7} + \frac{6}{49} = \frac{1 \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{6}{49} = \frac{7}{49} + \frac{6}{49} = \frac{7 + 6}{49} = \frac{13}{49}$$
Теперь умножим $\frac{7}{39}$ на полученный результат:
$$\frac{7}{39} \cdot \frac{13}{49} = \frac{7 \cdot 13}{39 \cdot 49} = \frac{91}{1911}$$
Сократим дробь $\frac{91}{1911}$. Можно разделить числитель и знаменатель на 91 (так как $7 \cdot 13 = 91$ и $39 \cdot 49 = (3 \cdot 13) \cdot (7 \cdot 7) = (3 \cdot 7) \cdot (13 \cdot 7) = 21 \cdot 91$):
$$\frac{91 \div 91}{1911 \div 91} = \frac{1}{21}$$
**Ответ:** $\frac{1}{21}$
