В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC = 8√2. Найдите AC.

1. Чтобы найти сторону $AC$ в треугольнике $ABC$, мы можем использовать теорему синусов: $$ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} $$ Подставляем известные значения: $$ \frac{AC}{\sin 30^\circ} = \frac{8\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} $$ Мы знаем, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ и $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $$ \frac{AC}{1/2} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} $$ $$ 2 \cdot AC = 8\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} $$ $$ 2 \cdot AC = 16 $$ $$ AC = \frac{16}{2} $$ $$ AC = 8 $$ **Ответ: 8** 2. Площадь треугольника $ABC$ равна 48. Точка $D$ лежит на стороне $AC$, при этом $AD = 6$ и $DC = 10$. Площади треугольников с общей высотой относятся как длины оснований, на которые эта высота опущена. В данном случае, высота из вершины $B$ на сторону $AC$ является общей для треугольников $ABC$ и $BCD$. Длина стороны $AC = AD + DC = 6 + 10 = 16$. Основание треугольника $ABC$ — $AC = 16$. Основание треугольника $BCD$ — $DC = 10$. Тогда отношение площадей будет: $$ \frac{S_{BCD}}{S_{ABC}} = \frac{DC}{AC} $$ Подставляем известные значения: $$ \frac{S_{BCD}}{48} = \frac{10}{16} $$ $$ S_{BCD} = 48 \cdot \frac{10}{16} $$ $$ S_{BCD} = 3 \cdot 10 $$ $$ S_{BCD} = 30 $$ **Ответ: 30** 3. Синус острого угла $A$ треугольника $ABC$ равен $\frac{3\sqrt{11}}{10}$. Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $$ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 $$ Отсюда выразим $\cos A$: $$ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A $$ $$ \cos A = \pm\sqrt{1 - \sin^2 A} $$ Поскольку угол $A$ острый, его косинус будет положительным. $$ \cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{3\sqrt{11}}{10}\right)^2} $$ $$ \cos A = \sqrt{1 - \frac{9 \cdot 11}{100}} $$ $$ \cos A = \sqrt{1 - \frac{99}{100}} $$ $$ \cos A = \sqrt{\frac{100}{100} - \frac{99}{100}} $$ $$ \cos A = \sqrt{\frac{1}{100}} $$ $$ \cos A = \frac{1}{10} $$ **Ответ: 0.1**