Решите уравнение $2\cos^2 x - \sin x + 1 = 0$

1) Для решения уравнения $2\cos^2 x - \sin x + 1 = 0$ используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это в исходное уравнение: $$2(1 - \sin^2 x) - \sin x + 1 = 0$$ Раскроем скобки: $$2 - 2\sin^2 x - \sin x + 1 = 0$$ Приведём подобные слагаемые: $$-2\sin^2 x - \sin x + 3 = 0$$ Умножим уравнение на $-1$, чтобы старший коэффициент стал положительным: $$2\sin^2 x + \sin x - 3 = 0$$ Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sin x$. Тогда уравнение примет вид квадратного: $$2y^2 + y - 3 = 0$$ Найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$ Найдём корни $y_1, y_2$ по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$$ Теперь вернёмся к замене $y = \sin x$. Случай 1: $\sin x = 1$ Это уравнение имеет решения вида: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Случай 2: $\sin x = -1.5$ Поскольку область значений функции $\sin x$ находится в пределах $[-1; 1]$, значение $-1.5$ не входит в этот интервал. Поэтому у этого уравнения нет решений. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$