Решите неравенства на отрезке [-3; 3]: 2) $4^x - 2^x < 12$

1. Заменяем $2^x$ на $t$. Так как $x$ - это действительное число, $t$ должно быть больше нуля, $t > 0$. Неравенство примет вид: $$t^2 - t < 12$$ Переносим 12 в левую часть: $$t^2 - t - 12 < 0$$ Находим корни квадратного уравнения $t^2 - t - 12 = 0$: $$t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}$$ Корни: $$t_1 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$t_2 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Так как парабола $t^2 - t - 12$ направлена ветвями вверх, неравенство $t^2 - t - 12 < 0$ выполняется между корнями: $$-3 < t < 4$$ Учитывая, что $t > 0$, получаем: $$0 < t < 4$$ Возвращаем замену $t = 2^x$: $$0 < 2^x < 4$$ Поскольку $2^x$ всегда больше 0, нам нужно решить только $2^x < 4$: $$2^x < 2^2$$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$x < 2$$ Нам нужно найти решения на отрезке $[-3; 3]$. Пересечение отрезка $[-3; 3]$ и интервала $(-\infty; 2)$: $$x \in [-3; 2)$$ **Ответ:** $x \in [-3; 2)$ 2. Заменяем $3^x$ на $t$. Так как $x$ - это действительное число, $t$ должно быть больше нуля, $t > 0$. Неравенство примет вид: $$3t^2 + 11t < 4$$ Переносим 4 в левую часть: $$3t^2 + 11t - 4 < 0$$ Находим корни квадратного уравнения $3t^2 + 11t - 4 = 0$: $$t = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 48}}{6} = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{6} = \frac{-11 \pm 13}{6}$$ Корни: $$t_1 = \frac{-11 - 13}{6} = \frac{-24}{6} = -4$$ $$t_2 = \frac{-11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ Так как парабола $3t^2 + 11t - 4$ направлена ветвями вверх, неравенство $3t^2 + 11t - 4 < 0$ выполняется между корнями: $$-4 < t < \frac{1}{3}$$ Учитывая, что $t > 0$, получаем: $$0 < t < \frac{1}{3}$$ Возвращаем замену $t = 3^x$: $$0 < 3^x < \frac{1}{3}$$ Поскольку $3^x$ всегда больше 0, нам нужно решить только $3^x < \frac{1}{3}$: $$3^x < 3^{-1}$$ Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$x < -1$$ Нам нужно найти решения на отрезке $[-3; 3]$. Пересечение отрезка $[-3; 3]$ и интервала $(-\infty; -1)$: $$x \in [-3; -1)$$ **Ответ:** $x \in [-3; -1)$