Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если стороны основания равны 144, а боковые рёбра равны 222.

Нам нужно найти площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды. Боковая поверхность правильной пирамиды состоит из одинаковых равнобедренных треугольников. В данном случае их 6, так как основание — шестиугольник. Сначала найдём апофему (высоту боковой грани) $h_a$. Она является высотой равнобедренного треугольника. Рассмотрим боковую грань. Это равнобедренный треугольник со сторонами $144, 222, 222$. Разделим его пополам высотой $h_a$, которая будет медианой. Получится прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковое ребро (222), один катет — половина стороны основания ($144 / 2 = 72$), а другой катет — это апофема $h_a$. По теореме Пифагора: $$h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = l^2$$ где $a = 144$ — сторона основания, $l = 222$ — боковое ребро. $$h_a^2 + 72^2 = 222^2$$ $$h_a^2 + 5184 = 49284$$ $$h_a^2 = 49284 - 5184$$ $$h_a^2 = 44100$$ $$h_a = \sqrt{44100}$$ $$h_a = 210$$ Теперь найдём площадь одной боковой грани. Это треугольник с основанием $a=144$ и высотой $h_a=210$. $$S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$ $$S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot 210$$ $$S_{\text{грани}} = 72 \cdot 210$$ $$S_{\text{грани}} = 15120$$ Площадь боковой поверхности пирамиды — это сумма площадей всех 6 боковых граней: $$S_{\text{бок}} = 6 \cdot S_{\text{грани}}$$ $$S_{\text{бок}} = 6 \cdot 15120$$ $$S_{\text{бок}} = 90720$$ **Ответ:** $90720$