Сравнить логарифмы: a) log2 3,8 и log2 4,7

Для сравнения логарифмов, давай посмотрим, как изменяется функция логарифма. Если основание логарифма больше 1, то функция возрастает, то есть чем больше число под логарифмом, тем больше значение логарифма. Если основание логарифма между 0 и 1, то функция убывает, то есть чем больше число под логарифмом, тем меньше значение логарифма. ### 501. а) $\log_2 3,8$ и $\log_2 4,7$ Основание логарифма $2 > 1$, значит функция возрастающая. Так как $3,8 < 4,7$, то $\log_2 3,8 < \log_2 4,7$. **Ответ: $\log_2 3,8 < \log_2 4,7$** б) $\log_3 5,1$ и $\log_3 4,9$ Основание логарифма $3 > 1$, значит функция возрастающая. Так как $5,1 > 4,9$, то $\log_3 5,1 > \log_3 4,9$. **Ответ: $\log_3 5,1 > \log_3 4,9$** в) $\log_{1/3} 0,2$ и $\log_{1/3} 0,15$ Основание логарифма $1/3 < 1$, значит функция убывающая. Так как $0,2 > 0,15$, то $\log_{1/3} 0,2 < \log_{1/3} 0,15$. **Ответ: $\log_{1/3} 0,2 < \log_{1/3} 0,15$** г) $\log_{0,2} 1,8$ и $\log_{0,2} 2,1$ Основание логарифма $0,2 < 1$, значит функция убывающая. Так как $1,8 < 2,1$, то $\log_{0,2} 1,8 > \log_{0,2} 2,1$. **Ответ: $\log_{0,2} 1,8 > \log_{0,2} 2,1$** ### 502. а) $\log_{\sqrt{2}} 3$ и $\log_{\sqrt{2}} 1$ Основание логарифма $\sqrt{2} \approx 1,41 > 1$, значит функция возрастающая. Так как $3 > 1$, то $\log_{\sqrt{2}} 3 > \log_{\sqrt{2}} 1$. **Ответ: $\log_{\sqrt{2}} 3 > \log_{\sqrt{2}} 1$** б) $\log_{\pi} 2,9$ и $\log_{\pi} 1$ Основание логарифма $\pi \approx 3,14 > 1$, значит функция возрастающая. Так как $2,9 > 1$, то $\log_{\pi} 2,9 > \log_{\pi} 1$. **Ответ: $\log_{\pi} 2,9 > \log_{\pi} 1$** в) $\log_{1/3} 1,9$ и $\log_{1/3} 2,5$ Основание логарифма $1/3 < 1$, значит функция убывающая. Так как $1,9 < 2,5$, то $\log_{1/3} 1,9 > \log_{1/3} 2,5$. **Ответ: $\log_{1/3} 1,9 > \log_{1/3} 2,5$** г) $\log_{0,7} \sqrt{2}$ и $\log_{0,7} 0,3$ Основание логарифма $0,7 < 1$, значит функция убывающая. Так как $\sqrt{2} \approx 1,41$ и $0,3$, то $\sqrt{2} > 0,3$. Следовательно, $\log_{0,7} \sqrt{2} < \log_{0,7} 0,3$. **Ответ: $\log_{0,7} \sqrt{2} < \log_{0,7} 0,3$** ### 503. а) $\log_2 10$ и $\log_5 30$ Чтобы сравнить эти логарифмы, можно привести их к общему основанию или оценить значения. $\log_2 10$: $2^3 = 8$, $2^4 = 16$. Значит, $3 < \log_2 10 < 4$. $\log_5 30$: $5^2 = 25$, $5^3 = 125$. Значит, $2 < \log_5 30 < 3$. Сравнивая интервалы, видно, что $\log_2 10$ больше $\log_5 30$. **Ответ: $\log_2 10 > \log_5 30$** б) $\log_{0,3} 2$ и $\log_5 3$ $\log_{0,3} 2$: Основание $0,3 < 1$. Так как $2 > 1$, то $\log_{0,3} 2 < 0$. $\log_5 3$: Основание $5 > 1$. Так как $3 > 1$, то $\log_5 3 > 0$. Отрицательное число всегда меньше положительного. **Ответ: $\log_{0,3} 2 < \log_5 3$** в) $\log_3 5$ и $\log_7 4$ $\log_3 5$: $3^1 = 3$, $3^2 = 9$. Значит, $1 < \log_3 5 < 2$. $\log_7 4$: $7^0 = 1$, $7^1 = 7$. Значит, $0 < \log_7 4 < 1$. Сравнивая интервалы, видно, что $\log_3 5$ больше $\log_7 4$. **Ответ: $\log_3 5 > \log_7 4$** г) $\log_3 10$ и $\log_5 57$ $\log_3 10$: $3^2 = 9$, $3^3 = 27$. Значит, $2 < \log_3 10 < 3$. $\log_5 57$: $5^2 = 25$, $5^3 = 125$. Значит, $2 < \log_5 57 < 3$. Оба логарифма находятся в интервале $(2, 3)$. Давай уточним. Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$. $\log_3 10 = \frac{\ln 10}{\ln 3} \approx \frac{2,302}{1,098} \approx 2,096$ $\log_5 57 = \frac{\ln 57}{\ln 5} \approx \frac{4,043}{1,609} \approx 2,513$ Сравнивая значения, видим, что $\log_3 10 < \log_5 57$. **Ответ: $\log_3 10 < \log_5 57$**