1. Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, проведены прямые $l$ и $m$. Прямая $l$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно, прямая $m$ — в точках $B_1$ и $B_2$. Найдите длину отрезка $A_2B_2$, если $A_1B_1 = 24$ см, $B_1O : OB_2 = 3:4$.

1. Прямые $l$ и $m$ пересекаются в точке $O$. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Прямая $l$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно. Прямая $m$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно. По свойству параллельных прямых, пересекающих параллельные плоскости, треугольники $OA_1B_1$ и $OA_2B_2$ подобны. Значит, отношения соответствующих сторон равны: $$\frac{OA_1}{OA_2} = \frac{OB_1}{OB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$ Дано, что $B_1O : OB_2 = 3 : 4$, то есть $\frac{OB_1}{OB_2} = \frac{3}{4}$. Также дано, что $A_1B_1 = 24$ см. Используем отношение: $$\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OB_1}{OB_2}$$ $$\frac{24}{A_2B_2} = \frac{3}{4}$$ Чтобы найти $A_2B_2$, умножим 24 на 4 и разделим на 3: $$A_2B_2 = \frac{24 \times 4}{3}$$ $$A_2B_2 = 8 \times 4$$ $$A_2B_2 = 32$$ **Ответ: 32 см** 2. Прямые $l$ и $m$ пересекаются в точке $O$, не лежащей между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Прямая $l$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно. Прямая $m$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно. Так как $O$ не лежит между плоскостями, а прямые пересекают плоскости, то точка $O$ находится по одну сторону от обеих плоскостей. В этом случае треугольники $OA_1B_1$ и $OA_2B_2$ будут подобны. Значит, отношения соответствующих сторон равны: $$\frac{OA_1}{OA_2} = \frac{OB_1}{OB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$ Дано, что $OB_1 : OB_2 = 6 : 10$, то есть $\frac{OB_1}{OB_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Также дано, что $A_2B_2 = 30$ см. Используем отношение: $$\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OB_1}{OB_2}$$ $$\frac{A_1B_1}{30} = \frac{3}{5}$$ Чтобы найти $A_1B_1$, умножим 30 на 3 и разделим на 5: $$A_1B_1 = \frac{30 \times 3}{5}$$ $$A_1B_1 = 6 \times 3$$ $$A_1B_1 = 18$$ **Ответ: 18 см**