1. Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, проведены прямые $l$ и $m$. Прямая $l$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно, прямая $m$ — в точках $B_1$ и $B_2$. Найдите длину отрезка $A_2B_2$, если $A_1B_1 = 24$ см, $B_1O : OB_2 = 3 : 4$.

1. Поскольку прямая $m$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$, а также прямая $l$ пересекает эти же плоскости, и обе прямые проходят через точку $O$, то треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$ подобны. Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$\frac{OA_1}{OA_2} = \frac{OB_1}{OB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$ Нам дано: $A_1B_1 = 24$ см $B_1O : OB_2 = 3 : 4$ Тогда $\frac{OB_1}{OB_2} = \frac{3}{4}$. Используем отношение: $$\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OB_1}{OB_2}$$ $$\frac{24}{A_2B_2} = \frac{3}{4}$$ Выразим $A_2B_2$: $$A_2B_2 = \frac{24 \cdot 4}{3}$$ $$A_2B_2 = 8 \cdot 4$$ $$A_2B_2 = 32$$ см **Ответ:** $A_2B_2 = 32$ см 2. Опять же, из подобия треугольников $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$ (пояснение такое же, как в пункте 1): $$\frac{OA_1}{OA_2} = \frac{OB_1}{OB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$ Нам дано: $A_2B_2 = 30$ см $OB_1 : OB_2 = 6 : 10$ Тогда $\frac{OB_1}{OB_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Используем отношение: $$\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OB_1}{OB_2}$$ $$\frac{A_1B_1}{30} = \frac{3}{5}$$ Выразим $A_1B_1$: $$A_1B_1 = \frac{30 \cdot 3}{5}$$ $$A_1B_1 = 6 \cdot 3$$ $$A_1B_1 = 18$$ см **Ответ:** $A_1B_1 = 18$ см