Докажи, что плоскости $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ параллельны, если три отрезка $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину.

Пусть $M$ — общая середина отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$. Это значит, что $M$ — середина каждого из этих отрезков. Из этого следует: 1. $\vec{MA_1} = -\vec{MA_2}$ 2. $\vec{MB_1} = -\vec{MB_2}$ 3. $\vec{MC_1} = -\vec{MC_2}$ Чтобы доказать параллельность плоскостей $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$, нам нужно показать, что два непараллельных вектора одной плоскости параллельны двум непараллельным векторам другой плоскости. Рассмотрим векторы в плоскости $A_1B_1C_1$: $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{A_1C_1}$. $\vec{A_1B_1} = \vec{MB_1} - \vec{MA_1}$ $\vec{A_1C_1} = \vec{MC_1} - \vec{MA_1}$ Рассмотрим векторы в плоскости $A_2B_2C_2$: $\vec{A_2B_2}$ и $\vec{A_2C_2}$. $\vec{A_2B_2} = \vec{MB_2} - \vec{MA_2}$ $\vec{A_2C_2} = \vec{MC_2} - \vec{MA_2}$ Используя равенства из пункта 1, 2 и 3: $\vec{A_2B_2} = -\vec{MB_1} - (-\vec{MA_1}) = -\vec{MB_1} + \vec{MA_1} = -(\vec{MB_1} - \vec{MA_1}) = -\vec{A_1B_1}$ $\vec{A_2C_2} = -\vec{MC_1} - (-\vec{MA_1}) = -\vec{MC_1} + \vec{MA_1} = -(\vec{MC_1} - \vec{MA_1}) = -\vec{A_1C_1}$ Таким образом, векторы $\vec{A_2B_2}$ и $\vec{A_2C_2}$ коллинеарны векторам $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{A_1C_1}$ соответственно. При этом $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{A_1C_1}$ не коллинеарны, так как точки $A_1, B_1, C_1$ не лежат на одной прямой (образуют плоскость). Аналогично для $A_2, B_2, C_2$. Так как два пересекающихся вектора одной плоскости ($A_1B_1C_1$) параллельны двум пересекающимся векторам другой плоскости ($A_2B_2C_2$), то эти плоскости параллельны. **Доказано.**