Решите систему неравенств.

Решим каждую систему неравенств по очереди. ### а) $\begin{cases} 4x^2 - 27x - 7 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$ 1. Решим первое неравенство $4x^2 - 27x - 7 > 0$. Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - 27x - 7 = 0$: $$D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 729 + 112 = 841$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$$ $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 29}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 29}{2 \cdot 4} = \frac{56}{8} = 7$$ Так как парабола $4x^2 - 27x - 7$ открыта вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), то $4x^2 - 27x - 7 > 0$ при $x < -\frac{1}{4}$ или $x > 7$. 2. Объединим решение первого неравенства с условием $x > 0$. $$\begin{cases} x < -\frac{1}{4} \text{ или } x > 7 \\ x > 0 \end{cases}$$ Общим решением будет интервал, где оба условия выполняются. Это $x > 7$. **Ответ: $x \in (7; +\infty)$** ### б) $\begin{cases} -3x^2 + 17x + 6 < 0 \\ x < 0 \end{cases}$ 1. Решим первое неравенство $-3x^2 + 17x + 6 < 0$. Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства: $3x^2 - 17x - 6 > 0$. Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 17x - 6 = 0$: $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 289 + 72 = 361$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$$ $$x_1 = \frac{17 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{17 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$$ Так как парабола $3x^2 - 17x - 6$ открыта вверх, то $3x^2 - 17x - 6 > 0$ при $x < -\frac{1}{3}$ или $x > 6$. 2. Объединим решение первого неравенства с условием $x < 0$. $$\begin{cases} x < -\frac{1}{3} \text{ или } x > 6 \\ x < 0 \end{cases}$$ Общим решением будет интервал, где оба условия выполняются. Это $x < -\frac{1}{3}$. **Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3})$** ### в) $\begin{cases} x + 1 < 0 \\ 2x^2 - 18 > 0 \end{cases}$ 1. Решим первое неравенство $x + 1 < 0$: $$x < -1$$ 2. Решим второе неравенство $2x^2 - 18 > 0$: $$2x^2 > 18$$ $$x^2 > 9$$ Это означает, что $x < -3$ или $x > 3$. 3. Объединим оба решения: $$\begin{cases} x < -1 \\ x < -3 \text{ или } x > 3 \end{cases}$$ Нам нужно найти пересечение этих условий. Если $x < -1$ и $x < -3$, то $x < -3$. Вторая часть ($x > 3$) не пересекается с $x < -1$. **Ответ: $x \in (-\infty; -3)$** ### г) $\begin{cases} x - 4 > 0 \\ 3x^2 - 15x < 0 \end{cases}$ 1. Решим первое неравенство $x - 4 > 0$: $$x > 4$$ 2. Решим второе неравенство $3x^2 - 15x < 0$: Вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $$3x(x - 5) < 0$$ Найдем корни: $3x = 0 \Rightarrow x = 0$ и $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$. Парабола $3x(x - 5)$ открыта вверх, поэтому $3x(x - 5) < 0$ при $0 < x < 5$. 3. Объединим оба решения: $$\begin{cases} x > 4 \\ 0 < x < 5 \end{cases}$$ Общим решением будет интервал, где оба условия выполняются. Это $4 < x < 5$. **Ответ: $x \in (4; 5)$**