Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках P и K соответственно. Найди BK, если PK = 20, AC = 35, KC = 39.

1. Прямая $РК$ параллельна стороне $АС$ треугольника $АВС$. Это значит, что треугольник $ВРК$ подобен треугольнику $ВАС$ по двум углам (угол $В$ общий, а углы $ВРК$ и $ВАС$ равны как соответственные при параллельных прямых $РК$ и $АС$ и секущей $АВ$). Из подобия треугольников $ВРК$ и $ВАС$ следует отношение сторон: $$ \frac{ВК}{ВС} = \frac{РК}{АС} $$ Подставляем известные значения: $$ \frac{ВК}{ВК + КС} = \frac{20}{35} $$ Мы знаем, что $КС = 39$. Подставляем это значение: $$ \frac{ВК}{ВК + 39} = \frac{20}{35} $$ Сократим дробь $\frac{20}{35}$ на 5: $$ \frac{20}{35} = \frac{4}{7} $$ Теперь у нас уравнение: $$ \frac{ВК}{ВК + 39} = \frac{4}{7} $$ Умножим крест-на-крест: $$ 7 \cdot ВК = 4 \cdot (ВК + 39) $$ $$ 7ВК = 4ВК + 4 \cdot 39 $$ $$ 7ВК = 4ВК + 156 $$ Вычтем $4ВК$ из обеих частей уравнения: $$ 7ВК - 4ВК = 156 $$ $$ 3ВК = 156 $$ Разделим обе части на 3: $$ ВК = \frac{156}{3} $$ $$ ВК = 52 $$ **Ответ: ВК = 52**