Реши показательные уравнения:

1) Переведём 1,5 в обыкновенную дробь: $1,5 = \frac{3}{2}$. Тогда уравнение примет вид: $$\left(\frac{3}{2}\right)^{5x-7} = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$$ Так как $\frac{2}{3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$, то: $$\left(\frac{3}{2}\right)^{5x-7} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}\right)^{x+1}$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^{5x-7} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-(x+1)}$$ Теперь, когда основания одинаковы, приравниваем показатели степеней: $$5x-7 = -(x+1)$$ $$5x-7 = -x-1$$ $$5x+x = -1+7$$ $$6x = 6$$ $$x = 1$$ **Ответ: $x=1$** 2) Переведём 0,75 в обыкновенную дробь: $0,75 = \frac{3}{4}$. Также преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Тогда уравнение примет вид: $$\left(\frac{3}{4}\right)^{2x-3} = \left(\frac{4}{3}\right)^{5-x}$$ Так как $\frac{4}{3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-1}$, то: $$\left(\frac{3}{4}\right)^{2x-3} = \left(\left(\frac{3}{4}\right)^{-1}\right)^{5-x}$$ $$\left(\frac{3}{4}\right)^{2x-3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-(5-x)}$$ Приравниваем показатели степеней: $$2x-3 = -(5-x)$$ $$2x-3 = -5+x$$ $$2x-x = -5+3$$ $$x = -2$$ **Ответ: $x=-2$** 3) Уравнение $5^{x^2-5x-6} = 1$. Любое число в нулевой степени равно 1 (кроме 0). То есть, $5^0=1$. Значит, показатель степени должен быть равен 0: $$x^2-5x-6 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: $x_1+x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Подходящие числа: $6$ и $-1$. Проверим: $6 + (-1) = 5$ $6 \cdot (-1) = -6$ Значит, корни уравнения $x_1=6$ и $x_2=-1$. **Ответ: $x_1=6$, $x_2=-1$** 4) Уравнение $\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-2} = \frac{1}{7}$. Мы знаем, что $\frac{1}{7} = \left(\frac{1}{7}\right)^1$. Значит, можем приравнять показатели степеней: $$x^2-2x-2 = 1$$ $$x^2-2x-2-1 = 0$$ $$x^2-2x-3 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: $x_1+x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Подходящие числа: $3$ и $-1$. Проверим: $3 + (-1) = 2$ $3 \cdot (-1) = -3$ Значит, корни уравнения $x_1=3$ и $x_2=-1$. **Ответ: $x_1=3$, $x_2=-1$**