Представьте $105^\circ$ как сумму $60^\circ + 45^\circ$ и вычислите $\sin 105^\circ$ и $\cos 105^\circ$.

123. Чтобы вычислить $\sin 105^\circ$ и $\cos 105^\circ$, представим $105^\circ$ как сумму $60^\circ + 45^\circ$. а) $\sin 105^\circ$ Используем формулу синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$. $\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$ Зная значения: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Подставляем значения: $\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ **Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$** б) $\cos 105^\circ$ Используем формулу косинуса суммы углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$. $\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ$ Подставляем значения: $\cos 105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ **Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$**