Найди значение выражения $2\sin\left(\frac{23\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{23\pi}{12}\right)$.

Для решения этого выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $$\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$$ В нашем случае $\alpha = \frac{23\pi}{12}$. Тогда выражение $2\sin\left(\frac{23\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{23\pi}{12}\right)$ можно записать как $\sin\left(2 \cdot \frac{23\pi}{12}\right)$. Вычислим аргумент синуса: $$2 \cdot \frac{23\pi}{12} = \frac{23\pi}{6}$$ Теперь нам нужно найти значение $\sin\left(\frac{23\pi}{6}\right)$. Мы знаем, что период функции синус равен $2\pi$. Можно отнять целое количество периодов, чтобы получить более простой угол. $$\frac{23\pi}{6} = \frac{18\pi + 5\pi}{6} = 3\pi + \frac{5\pi}{6}$$ Теперь используем свойство $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$: $$\sin\left(3\pi + \frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + 2\pi + \frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{5\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)$$ Используем свойство $\sin(\pi - x) = \sin(x)$: $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$ Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Значит, $$\sin\left(\frac{23\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$$ **Ответ:** $-\frac{1}{2}$