1. В треугольнике ABC угол С равен 90°, sinB = 5/17. AB=51. Найди AC.2. В треугольнике ABC угол С равен 90, cosB=7/9, AB=54. Найди BC.3. В треугольнике ABC угол С равен 90, tgB = 8/5, BC=20. Найди AC.4. Косинус острого угла A треугольника ABC равен 3/5. Найди sinA.5. Синус острого угла A треугольника ABC равен √19/10. Найди cosA.6. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 5, DC = 7. Площадь треугольника ABC равна 60. Найди площадь треугольника BCD.

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) синус угла $B$ равен отношению противолежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$. $$\sin B = \frac{AC}{AB}$$ Отсюда выразим $AC$: $$AC = AB \cdot \sin B$$ Подставим известные значения: $$AC = 51 \cdot \frac{5}{17}$$ $$AC = \frac{51 \cdot 5}{17}$$ $$AC = 3 \cdot 5$$ $$AC = 15$$ **Ответ: 15** 2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$. $$\cos B = \frac{BC}{AB}$$ Отсюда выразим $BC$: $$BC = AB \cdot \cos B$$ Подставим известные значения: $$BC = 54 \cdot \frac{7}{9}$$ $$BC = \frac{54 \cdot 7}{9}$$ $$BC = 6 \cdot 7$$ $$BC = 42$$ **Ответ: 42** 3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) тангенс угла $B$ равен отношению противолежащего катета $AC$ к прилежащему катету $BC$. $$\operatorname{tg} B = \frac{AC}{BC}$$ Отсюда выразим $AC$: $$AC = BC \cdot \operatorname{tg} B$$ Подставим известные значения: $$AC = 20 \cdot \frac{8}{5}$$ $$AC = \frac{20 \cdot 8}{5}$$ $$AC = 4 \cdot 8$$ $$AC = 32$$ **Ответ: 32** 4. Для острого угла $A$ в прямоугольном треугольнике известно основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ Отсюда можно найти $\sin A$: $$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$$ $$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$$ Подставим значение $\cos A = \frac{3}{5}$: $$\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2}$$ $$\sin A = \sqrt{1 - \frac{9}{25}}$$ $$\sin A = \sqrt{\frac{25}{25} - \frac{9}{25}}$$ $$\sin A = \sqrt{\frac{16}{25}}$$ $$\sin A = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$$ $$\sin A = \frac{4}{5}$$ **Ответ: $\frac{4}{5}$** 5. Для острого угла $A$ в прямоугольном треугольнике известно основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ Отсюда можно найти $\cos A$: $$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$$ $$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}$$ Подставим значение $\sin A = \frac{\sqrt{19}}{10}$: $$\cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{19}}{10}\right)^2}$$ $$\cos A = \sqrt{1 - \frac{19}{100}}$$ $$\cos A = \sqrt{\frac{100}{100} - \frac{19}{100}}$$ $$\cos A = \sqrt{\frac{81}{100}}$$ $$\cos A = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}}$$ $$\cos A = \frac{9}{10}$$ **Ответ: $\frac{9}{10}$** 6. Площадь треугольника $ABC$ находится по формуле: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h$$ где $h$ — высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$. Обозначим эту высоту $BH$. Тогда $h = BH$. Известно, что $AD = 5$ и $DC = 7$. Тогда длина стороны $AC$ равна: $$AC = AD + DC = 5 + 7 = 12$$ Подставим $AC = 12$ и $S_{ABC} = 60$ в формулу площади: $$60 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot BH$$ $$60 = 6 \cdot BH$$ Выразим $BH$: $$BH = \frac{60}{6}$$ $$BH = 10$$ Теперь найдем площадь треугольника $BCD$. Для этого треугольника основанием является $DC$, а высота $BH$ та же самая, так как она опущена из той же вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $DC$. $$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot BH$$ Подставим известные значения: $$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 10$$ $$S_{BCD} = \frac{70}{2}$$ $$S_{BCD} = 35$$ **Ответ: 35**