Докажи, что $MD = ND$, если на боковых сторонах равнобедренного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $BM$ и $BN$, а $BD$ — высота.

Question

Вопрос:

Докажи, что $MD = ND$, если на боковых сторонах равнобедренного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $BM$ и $BN$, а $BD$ — высота.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Допущение: Треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$. $BD$ — высота, проведенная к основанию $AC$. Точки $M$ и $N$ лежат на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, а отрезки $BM$ и $BN$ равны. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. $BD$ — высота, проведенная к основанию $AC$, поэтому $BD \perp AC$, и $BD$ является также медианой и биссектрисой. Значит, $D$ — середина $AC$, и $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ — прямоугольные. Рассмотрим $\triangle BDM$ и $\triangle BDN$. 1. $BD$ — общая сторона. 2. $\angle MBD = \angle NBD$, так как $BD$ является биссектрисой $\angle ABC$ в равнобедренном треугольнике $ABC$. 3. $BM = BN$ (по условию). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle BDM = \triangle BDN$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $MD = ND$. **Что и требовалось доказать.**

Докажи, что $MD = ND$, если на боковых сторонах равнобедренного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $BM$ и $BN$, а $BD$ — высота.

Ответ ассистента

Другие решения