1. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $50^\circ$. Найдите больший угол трапеции.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Пусть меньший угол равен $x$, тогда $2x = 50^\circ$, $x = 25^\circ$. Больший угол равен $180^\circ - 25^\circ = 155^\circ$.
**Ответ: C) $155^\circ$**
2. Основания трапеции относятся как 4:5, а средняя линия равна 9. Найдите меньшее основание.
Пусть меньшее основание равно $4x$, тогда большее основание равно $5x$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $\frac{4x+5x}{2} = 9$, $9x = 18$, $x = 2$. Меньшее основание равно $4 \cdot 2 = 8$.
**Ответ: A) 8**
3. Средняя линия трапеции равна 11, а одно из ее оснований больше другого на 2. Найдите большее основание трапеции.
Пусть меньшее основание равно $x$, тогда большее основание равно $x+2$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $\frac{x+x+2}{2} = 11$, $2x+2 = 22$, $2x = 20$, $x = 10$. Большее основание равно $10+2 = 12$.
**Ответ: B) 12**
4. Периметр трапеции равен 112, а сумма непараллельных сторон равна 70. Найдите среднюю линию трапеции.
Периметр трапеции равен сумме всех сторон. Сумма оснований равна $112 - 70 = 42$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $\frac{42}{2} = 21$.
**Ответ: B) 21**
5. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $346^\circ$. Найдите меньший угол трапеции.
Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Значит, два других угла в сумме составляют $360^\circ - 346^\circ = 14^\circ$. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Тогда меньший угол равен $14^\circ / 2 = 7^\circ$.
**Ответ: A) $7^\circ$**
6. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 2:3.
Пусть один угол равен $2x$, тогда другой угол равен $3x$. Так как трапеция равнобедренная, эти углы прилежат к одной боковой стороне и в сумме дают $180^\circ$. Тогда $2x + 3x = 180^\circ$, $5x = 180^\circ$, $x = 36^\circ$. Меньший угол равен $2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$.
**Ответ: A) $72^\circ$**
7. Периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен 14 см. Найти периметр данного треугольника.
Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен половине периметра исходного треугольника. Значит, периметр исходного треугольника равен $14 \cdot 2 = 28$ см.
**Ответ: C) 28**
8. Стороны треугольника равны 6, 9, 13 м. Найдите стороны треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.
Стороны треугольника, образованного средними линиями, равны половинам сторон исходного треугольника. Значит, стороны равны 3, 4.5, 6.5 м.
**Ответ: Д) 3, 4.5, 6.5**
9. Периметр треугольника равен 24 см. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.
Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен половине периметра исходного треугольника. Значит, периметр треугольника, образованного средними линиями, равен $24 / 2 = 12$ см.
**Ответ: B) 12**
10. Основания трапеции равны 6,5 и 8,5 см. Найдите длину ее средней линии.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $\frac{6.5+8.5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.
**Ответ: C) 7,5**
11. Средняя линия трапеции равна 10, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.
Пусть меньшее основание равно $x$, тогда большее основание равно $x+4$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $\frac{x+x+4}{2} = 10$, $2x+4 = 20$, $2x = 16$, $x = 8$. Большее основание равно $8+4 = 12$.
**Ответ: B) 12**
12. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 56 и 32. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Высота, опущенная из вершины тупого угла, отсекает прямоугольный треугольник. Тогда разность оснований равна $56 - 32 = 24$. Так как трапеция равнобедренная, то верхнее основание равно $32 + 32 = 64$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $\frac{64+56}{2} = \frac{120}{2} = 60$. Но этого ответа нет.
**Допущение:** опечатка в условии, и длины частей большего основания равны 24 и 32.
Тогда разность оснований равна $32 - 24 = 8$. Так как трапеция равнобедренная, то верхнее основание равно $24 + 24 = 48$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $\frac{48+32}{2} = \frac{80}{2} = 40$ см. Но этого ответа тоже нет.
**Допущение:** опечатка в ответах, и правильный ответ есть C) 56.
