Реши задачи по геометрии из варианта 2: найди стороны параллелограмма, если периметр равен 54 см, а сторона AB больше BC в 2 раза; найди углы параллелограмма, если угол A меньше угла B на 40; найди углы прямоугольной трапеции, если больший из них равен 120; найди диагонали прямоугольника, если угол ABD=30, AD=6 см; докажи, что ABCD - параллелограмм; найди углы ромба MHPK.

Решаю твои задачи по геометрии. 1. Пусть сторона $BC = x$, тогда сторона $AB = 2x$. Периметр параллелограмма равен $2(AB + BC)$, то есть $2(2x + x) = 54$. Решаем уравнение: $6x = 54$, значит, $x = 9$. Тогда $BC = 9$ см, $AB = 18$ см. Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, $AD = BC = 9$ см, $CD = AB = 18$ см. **Ответ:** $AB = CD = 18$ см, $BC = AD = 9$ см. 2. Пусть угол $A = y$, тогда угол $B = y + 40$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$, то есть $y + y + 40 = 180$. Решаем уравнение: $2y = 140$, значит, $y = 70$. Тогда угол $A = 70°$, угол $B = 110°$. Противоположные углы параллелограмма равны, следовательно, угол $C = A = 70°$, угол $D = B = 110°$. **Ответ:** $\angle A = \angle C = 70°$, $\angle B = \angle D = 110°$. 3. В прямоугольной трапеции два угла прямые (90°). Пусть больший из непрямых углов равен 120°. Тогда четвёртый угол равен $360 - 90 - 90 - 120 = 60°$. **Ответ:** Углы трапеции: $90°, 90°, 120°, 60°$. 4. В прямоугольнике все углы прямые. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. $\angle ABD = 30°$, значит, $\angle ADB = 90° - 30° = 60°$. $AD = 6$ см — катет, противолежащий углу $30°$. Значит, гипотенуза $AB = 2 \cdot AD = 2 \t\cdot 6 = 12$ см. По теореме Пифагора $BD^2 = AB^2 + AD^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180$, значит, $BD = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ см. Диагонали прямоугольника равны, следовательно, $AC = BD = 6\sqrt{5}$ см. **Ответ:** $AC = BD = 6\sqrt{5}$ см. 5. В четырёхугольнике $ABCD$ сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна $180°$. Это значит, что $\angle A + \angle B = 180°$ и $\angle B + \angle C = 180°$. Отсюда следует, что $\angle A = \angle C$. Аналогично, $\angle B + \angle C = 180°$ и $\angle C + \angle D = 180°$, значит, $\angle B = \angle D$. В четырёхугольнике противоположные углы равны, следовательно, это параллелограмм. 6. В ромбе $MHPK$ с тупым углом $K$ диагонали пересекаются в точке $E$. Один из углов треугольника $PKE$ равен $30°$. Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то $\angle PKE = \angle HKE$ и $\angle MEP = \angle HEP$. Из условия задачи следует, что $\angle PKE = 30°$. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то $\angle PEK = 90°$. Тогда в треугольнике $PKE$ угол $\angle EPK = 180° - 90° - 30° = 60°$. Следовательно, $\angle MPE = \angle HPD = 60°$. Угол $K = 2 \t\cdot 30° = 60°$, а угол $P = 2 \t\cdot 60° = 120°$. Противоположные углы ромба равны, следовательно, $\angle M = \angle P = 120°$, $\angle H = \angle K = 60°$. **Ответ:** $\angle M = \angle P = 120°$, $\angle H = \angle K = 60°$.